
解:(1)如圖1,過點P作PD⊥AB于點D,
∵PA=PB,∴AD=BD,
在Rt△ACB中,AC=4,BC=2,
∴AB=

,∴AD=

,
∵tan∠CAB=

,∴PD=

>1,
∴⊙P與直線AB相離;
(2)如圖2,當(dāng)⊙P與直線AB相切于點M,連接PM,
則PM⊥AB,
∵∠CAB=∠CAB,∠AMP=∠C=90°,

∴△APM∽△ABC,
∴

=

,
∵AB=2

,
∴

=

,
解得:PC=4-

,
當(dāng)⊙P′在線段CA的延長線上與直線AB相切于點N,連接PN,
則PN⊥AB,
∵∠NAP′=∠CAB,∠ANP′=∠C=90°,
∴△AP′N∽△ABC,
∴

=

,
∵AC=4,BC=2,
∴AB=

=2

,
∴

=

,
解得:P′C=4+

,
故當(dāng)PC為4±

時,⊙P與直線AB相切,
則當(dāng)⊙P與直線AB相交時,寫出PC的取值范圍為

<PC<

;
故答案為:4±

,

<PC<

;

(3)如圖3,當(dāng)⊙P和線段AB相交時,過點P作PH⊥AB于點H,
∵△PMN為正三角形,即△PMN是邊長為1的三角形;
∵cos30°=

=

,
∴

,
∵sin∠CAB=

,
∴PA=

,
∴PC=4-

;
當(dāng)⊙P交在BA的延長線部分時,
過點P′作P′H′⊥AB于點H′,
∵△P′M′N′為正三角形,即△P′M′N′是邊長為1的三角形;
∵cos30°=

=

,
∴P′H′=

,
∵sin∠CAB=sin∠P′AH′=

=

,
∴P′A=

,
P′C=4+

.
綜上所述,PC=4-

或 PC=4+

.
分析:(1)首先利用等腰三角形的性質(zhì)得出AD=BD,再利用勾股定理得出AB的長,進而得出PD的長,即可得出⊙P與直線AB的位置關(guān)系;
(2)分別利用當(dāng)⊙P與直線AB相切于點M,以及當(dāng)⊙P′在線段CA的延長線上與直線AB相切于點N,利用相似三角形的性質(zhì)得出PC的長即可,進而得出當(dāng)⊙P與直線AB相交時,PC的取值范圍;
(3)當(dāng)△PMN為正三角形,即△PMN是邊長為1的三角形,利用cos30°=

,求出PH的長,進而得出PA,PC的長,同理可得出當(dāng)⊙P交在BA的延長線部分時,PC的長.
點評:此題主要考查了圓的綜合應(yīng)用以及銳角三角函數(shù)的應(yīng)用和相似三角形的判定與性質(zhì)等知識,根據(jù)數(shù)形結(jié)合進行分類討論得出是解題關(guān)鍵.