Question

如圖，平面直角坐標(biāo)系中，直線AB與x軸，y軸分別交于A(3，0)，B(0，)兩點(diǎn)，點(diǎn)C為線段AB上的一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)C作CD⊥x軸于點(diǎn)D．

(1)求直線AB的解析式；

(2)若S_梯形OBCD＝，求點(diǎn)C的坐標(biāo)；

(3)在第一象限內(nèi)是否存在點(diǎn)P，使得以P，O，B為頂點(diǎn)的三角形與△OBA相似．若存在，請(qǐng)求出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

答案：
解析：

(1)直線AB解析式為：y＝x＋． 　　(2)方法一：設(shè)點(diǎn)C坐標(biāo)為(x，x＋)，那么OD＝x，CD＝x＋． 　　∴＝＝． 　　由題意：＝，解得(舍去) 　　∴C(2，) 　　方法二：∵，＝， 　　∴． 　　由OA＝OB，得∠BAO＝30°，AD＝CD． 　　∴＝CD×AD＝＝．可得CD＝． 　　∴AD＝1，OD＝2．∴C(2，)． 　　(3)當(dāng)∠OBP＝Rt∠時(shí)，如圖 　�、偃簟鰾OP∽△OBA，則∠BPO＝∠BAO＝30°，BP＝OB＝3， 　　∴(3，)． 　�、谌簟鰾PO∽△OBA，則∠BOP＝∠BAO＝30°，BP＝OB＝1． 　　∴(1，)． 　　當(dāng)∠OPB＝Rt∠時(shí) 　　③過點(diǎn)O作OP⊥BA于點(diǎn)P(如圖)，此時(shí)△PBO∽△OBA，∠BOP＝∠BAO＝30° 　　過點(diǎn)P作PM⊥OA于點(diǎn)M． 　　方法一：在Rt△PBO中，BP＝OB＝，OP＝BP＝． 　　∵在Rt△PMO中，∠OPM＝30°， 　　∴OM＝OP＝；PM＝OM＝．∴(，)． 　　方法二：設(shè)Ｐ(x，x＋)，得OM＝x，PM＝x＋ 　　由∠BOP＝∠BAO，得∠POM＝∠ABO． 　　∵tan∠POM＝＝＝，tan∠ABO＝＝． 　　∴x＋＝x，解得x＝．此時(shí)，(，)． 　�、苋簟鱌OB∽△OBA(如圖)，則∠OBP＝∠BAO＝30°，∠POM＝30°． 　　∴PM＝OM＝． 　　∴(，)(由對(duì)稱性也可得到點(diǎn)的坐標(biāo))． 　　當(dāng)∠OPB＝Rt∠時(shí)，點(diǎn)P在x軸上，不符合要求． 　　綜合得，符合條件的點(diǎn)有四個(gè)，分別是： 　　(3，)，(1，)，(，)，(，)．