Question

如圖，在平面直角坐標系xOy中，拋物線的頂點為A，與y軸的交點為B，連結AB，AC⊥AB，交y軸于點C，延長CA到點D，使AD=AC，連結BD．作AE∥x軸，DE∥y軸．

（1）當m=2時，求點B的坐標；
（2）求DE的長？
（3）①設點D的坐標為（x，y），求y關于x的函數(shù)關系式？②過點D作AB的平行線，與第（3）①題確定的函數(shù)圖象的另一個交點為P，當m為何值時，以，A，B，D，P為頂點的四邊形是平行四邊形？

Answer 1

解：（1）當m=2時，，
把x=0代入，得：y=2，
∴點B的坐標為（0，2）。
（2）延長EA，交y軸于點F，

∵AD=AC，∠AFC=∠AED=90°，∠CAF=∠DAE，
∴△AFC≌△AED（AAS）。∴AF=AE。
∵點A（m，），點B（0，m），
∴AF=AE=|m|，，
∵∠ABF=90°﹣∠BAF=∠DAE，∠AFB=∠DEA=90°，
∴△ABF∽△DAE，∴，即：。∴DE=4。
（3）①∵點A的坐標為（m，），∴點D的坐標為（2m，）。
∴x=2m，y=，
∴y=，
∴所求函數(shù)的解析式為：y=。
②作PQ⊥DE于點Q，則△DPQ≌△BAF，
（Ⅰ）當四邊形ABDP為平行四邊形時（如圖1），

圖1
點P的橫坐標為3m，
點P的縱坐標為：，
把P（3m，）代入y=得：
。
解得：m=0（此時A，B，D，P在同一直線上，舍去）或m=8。
（Ⅱ）當四邊形ABDP為平行四邊形時（如圖2），

圖2
點P的橫坐標為m，
點P的縱坐標為：，
把P（m，）代入得：
。
解得：m=0（此時A，B，D，P在同一直線上，舍去）或m=﹣8。
綜上所述：m的值為8或﹣8。

解析