Question

如圖，直線l₁：y=

1

2

x與雙曲線y=

k

x

（k＞0）相交于A、B兩點(diǎn)，x_A=4．
（1）求雙曲線的解析式；
（2）點(diǎn)C在雙曲線上，y_C=8，求△CBA的面積；
（3）直線l₂：y=mx與雙曲線相交于P、Q兩點(diǎn)（x_P＞0），當(dāng)以A、B、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形的面積等于24時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

考點(diǎn)：反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題

專題：

分析：（1）將x_A=4代入一次函數(shù)解析式求出y的值，確定出A的坐標(biāo)，將A的坐標(biāo)代入反比例解析式中求出k的值，即可確定出反比例解析式；
（2）過B作y軸的垂線l，過點(diǎn)C、A分別作x軸的垂線，與直線l分別交于點(diǎn)D、E．先將y=

1

2

x代入y=

8

x

，求出B的坐標(biāo)，將y_C=8代入反比例解析式，求出C點(diǎn)坐標(biāo)，再由S_△CBA=S_△CBD+S_梯形AEDC-S_△ABE，將數(shù)值代入計(jì)算即可求解；
（3）設(shè)P（x，

8

x

），即OM=x，PM=

8

x

，分四種情況考慮：若P在A的左側(cè)，如圖所示，作PM⊥x軸于M，AN⊥x軸于N，由四邊形APBQ面積為24，且為平行四邊形，得到三角形AOP面積為6，根據(jù)三角形POM面積+梯形ANMP面積-三角形AON面積，列出關(guān)于x的方程，求出方程的解得到x的值，確定出此時(shí)P的坐標(biāo)；若交點(diǎn)P在第三象限，Q在第一象限，利用對(duì)稱性求出P的坐標(biāo)即可；若P在A的右側(cè)，同理可得P的坐標(biāo)；若交點(diǎn)P在第三象限，Q在第一象限，利用對(duì)稱性求出P的坐標(biāo)．

解答：解：（1）將x_A=4代入y=

1

2

x=2，即A（4，2），
將A（4，2）代入反比例解析式得：k=8，
所以雙曲線的解析式為y=

8

x

；

（2）如圖1，過B作y軸的垂線l，過點(diǎn)C、A分別作x軸的垂線，與直線l分別交于點(diǎn)D、E．
將y=

1

2

x代入y=

8

x

，得

1

2

x=

8

x

，
解得x=±4，
當(dāng)x=4時(shí)，y=2；當(dāng)x=-4時(shí)，y=-2，
∵A（4，2），
∴B（-4，-2）．
將y_C=8代入反比例解析式得：x=1，即C（1，8），
∴BD=5，BE=8，CD=10，AE=4．
∴S_△CBA=S_△CBD+S_梯形AEDC-S_△ABE=

1

2

×5×10+

1

2

×（4+10）×3-

1

2

×8×4=30；

（3）設(shè)P（x，

8

x

），即OM=x，PM=

8

x

，
若P在A的左側(cè)，如圖2所示，作PM⊥x軸于M，AN⊥x軸于N，
∵由點(diǎn)A、B、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形面積為24，OP=OQ，OA=OB，即四邊形APBQ為平行四邊形，
∴S_△AOP=S_△POM+S_梯形ANMP-S_△AON=

1

4

×24=6，即

1

2

x•

8

x

+

1

2

×（4-x）×（2+

8

x

）-4=6，
解得：x=2，即P（2，4）；
若交點(diǎn)P在第三象限，Q在第一象限，此時(shí)P（-2，-4）；
若P在A的右側(cè)，同理可得4+

1

2

×（x-4）×（2+

8

x

）-4=6，
解得：x=8，此時(shí)P坐標(biāo)為（8，1）；
若交點(diǎn)P在第三象限，Q在第一象限，此時(shí)P坐標(biāo)為（-8，-1），
綜上，P點(diǎn)坐標(biāo)為（2，4）或（-2，-4）或（8，1）或（-8，-1）．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，三角形、梯形的面積，以及待定系數(shù)法，熟練掌握待定系數(shù)法是解本題的關(guān)鍵．