【題目】已知,矩形ABCD中,AB=4cm,BC=8cm,AC的垂直平分線EF分別交AD、BC于點(diǎn)E. F,垂足為O.
(1)如圖1,連接AF、CE.求證:四邊形AFCE為菱形.
(2)如圖1,求AF的長(zhǎng).
(3)如圖2,動(dòng)點(diǎn)P、Q分別從A. C兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā),沿△AFB和△CDE各邊勻速運(yùn)動(dòng)一周。即點(diǎn)P自A→F→B→A停止,點(diǎn)Q自C→D→E→C停止。在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中,點(diǎn)P的速度為每秒1cm,設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒.
①問(wèn)在運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中,以A. P、C. Q四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形有可能是矩形嗎?若有可能,請(qǐng)求出運(yùn)動(dòng)時(shí)間t和點(diǎn)Q的速度;若不可能,請(qǐng)說(shuō)明理由.
②若點(diǎn)Q的速度為每秒0.8cm,當(dāng)A. P、C. Q四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí),求t的值.
【答案】(1)見(jiàn)解析;(2)AF=5cm;(3)①P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是 8,Q的速度是0.5cm/s;②t=.
【解析】
(1)證△AEO≌△CFO,推出OE=OF,根據(jù)平行四邊形和菱形的判定推出即可;
(2)設(shè)AF=CF=a,根據(jù)勾股定理得出關(guān)于a的方程,求出即可;
(3)①只有當(dāng)P運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn),Q運(yùn)動(dòng)到D點(diǎn)時(shí),以A、P、C、Q四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形有可能是矩形,求出時(shí)間t,即可求出答案;②分為三種情況,P在AF上,P在BF上,P在AB上,根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)求出即可.
(1)證明:∵四邊形ABCD是矩形,
∴AD∥BC,
∴∠AEO=∠CFO,
∵AC的垂直平分線EF,
∴AO=OC,AC⊥EF,
在△AEO和△CFO中
∵ ,
∴△AEO≌△CFO(AAS),
∴OE=OF,
∵OA=OC,
∴四邊形AECF是平行四邊形,
∵AC⊥EF,
∴平行四邊形AECF是菱形;
(2)設(shè)AF=acm,
∵四邊形AECF是菱形,
∴AF=CF=acm,
∵BC=8cm,
∴BF=(8a)cm,
在Rt△ABF中,由勾股定理得:4 +(8a) =a,
a=5,
即AF=5cm;
(3)①在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中,以A. P、C. Q四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形有可能是矩形,
只有當(dāng)P運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn),Q運(yùn)動(dòng)到D點(diǎn)時(shí),以A. P、C. Q四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形有可能是矩形,
P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是:(5+3)÷1=8,
Q的速度是:4÷8=0.5,
即Q的速度是0.5cm/s;
②分為三種情況:
第一、P在AF上,
∵P的速度是1cm/s,而Q的速度是0.8cm/s,
∴Q只能再CD上,此時(shí)當(dāng)A. P、C. Q四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形不是平行四邊形;
第二、當(dāng)P在BF上時(shí),Q在CD或DE上,只有當(dāng)Q在DE上時(shí),當(dāng)A. P、C. Q四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形才有可能是平行四邊形,如圖,
∵AQ=8(0.8t4),CP=5+(t5),
∴8(0.8t4)=5+(t5),
t=,
第三情況:當(dāng)P在AB上時(shí),Q在DE或CE上,此時(shí)當(dāng)A. P、C. Q四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形不是平行四邊形;
即t=.
綜上所述:當(dāng)A. P、C. Q四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí),t=.
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【題目】如圖,已知拋物線y=x2+bx+c的圖像與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為A(1,0),另一個(gè)交點(diǎn)為B,且與y軸交于點(diǎn)C(0,5).
(1)求直線BC及拋物線的解析式;
(2)若點(diǎn)M是拋物線在x軸下方圖像上的一動(dòng)點(diǎn),過(guò)點(diǎn)M作MN∥y軸交直線BC于點(diǎn)N,求MN的最大值;
(3)在(2)的條件下,MN取得最大值時(shí),若點(diǎn)P是拋物線在x軸下方圖像上任意一點(diǎn),以BC為邊作□CBPQ,設(shè)□CBPQ的面積為S1,△ABN的面積為S2,且S1=6S2,求點(diǎn)P的坐標(biāo).
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【題目】已知,直線y=2x+3與直線y=﹣2x﹣1.
(1)求兩直線與y軸交點(diǎn)A,B的坐標(biāo);
(2)求兩直線交點(diǎn)C的坐標(biāo);
(3)求△ABC的面積.
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【題目】如圖,在四邊形ABCD中,AB∥CD,BF=DE,AE⊥BD,CF⊥BD,垂足分別為E,F(xiàn).
(1)求證:△ABE≌△CDF;
(2)若AC與BD交于點(diǎn)O,求證:AC與BD互相平分.
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析式為( )
A. y=﹣ B. y=﹣(x>0) C. y=﹣6x(x>0) D. y= 6x(x>0)
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①若,如圖2,則 ;
②用含的代數(shù)式表示的長(zhǎng),直接寫出答案; , ;
若點(diǎn)為線段上一點(diǎn),且,你能說(shuō)明點(diǎn)是線段的中點(diǎn)嗎?
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