Question

探究：
（1）如圖1，在ABC與ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=90°，連結(jié)BD、CE．請寫出圖1中所有全等的三角形：

 

（不添加字母）．
（2）如圖2，已知△ABC，AB=AC，∠BAC=90°，l是過A點(diǎn)的直線，CN⊥l，BM⊥l，垂足為N、M．求證：△ABM≌△CAN．
解決問題：
（3）如圖3，已知△ABC，AB=AC，∠BAC=90°，D在邊BC上，DA=DE，∠ADE=90°，求證：AC⊥CE．
 

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）易證∠BAD=∠CAE，即可證明△ABD≌△ACE，即可解題；
（2）易證∠ACN=∠BAM，即可證明△ABM≌△CAN，即可解題；
（3）易證∠AED=∠DAE=45°，∠ABC=∠ACB=45°，即可證明△DFE∽△AFC，可得

EF

DF

=

CF

AF

，根據(jù)∠AFD=∠CFE，即可證明△CFE∽△AFD，可得∠FCE=∠DAE=45°，即可解題．

解答：證明：（1）∵∠DAB+∠BAE=∠DAE=90°，∠BAE+∠CAE=∠BAC=90°，
∴∠BAD=∠CAE，
∵在△ABD和△ACE中，

AB=AC ∠BAD=∠CAE AD=AE

，
∴△ABD≌△ACE，（SAS）；
（2）∵∠CAN+∠ACN=90°，∠CAN+∠BAM=90°，
∴∠ACN=∠BAM，
∵在△ABM和△CAN中，

∠ANC=∠AMB=90° ∠ACN=∠BAM AC=AB

，
∴△ABM≌△CAN，（AAS）
（3）
∵∠ADE=∠BAC=90°，AB=AC，AD=DE，
∴∠AED=∠DAE=45°，∠ABC=∠ACB=45°，
∵∠DFE=∠AFC，
∴△DFE∽△AFC，
∴

EF

DF

=

CF

AF

，
∵∠AFD=∠CFE，
∴△CFE∽△AFD，
∴∠FCE=∠DAE=45°，
∴∠ACE=∠ACB+∠FCE=90°，即AC⊥CE．

點(diǎn)評：本題考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形對應(yīng)邊相等的性質(zhì)，考查了相似三角形的判定和相似三角形對應(yīng)邊比例相等的性質(zhì)，本題中求證△ABD≌△ACE和△ABM≌△CAN是解題的關(guān)鍵．