Question

已知拋物線y=x²和直線y=（m²-1）x+m²．
（1）當(dāng)m為何實(shí)數(shù)時，拋物線與直線有兩個交點(diǎn)；
（2）設(shè)坐標(biāo)原點(diǎn)為O，拋物線與直線的交點(diǎn)從左至右分別為A、B、當(dāng)直線與拋物線兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)之差為3時，求△AOB中的OB邊上的高．

Answer 1

分析：（1）聯(lián)立拋物線和直線的解析式，可得出一個關(guān)于x的一元二次方程，如果拋物線與直線有兩個交點(diǎn)，那么方程的△＞0，由此可得出m的值．
（2）本題要先根據(jù)（1）兩函數(shù)聯(lián)立得出的方程求出A，B的橫坐標(biāo)，然后根據(jù)兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)差為3，求出m的值，即可求出A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，然后根據(jù)A，B的坐標(biāo)來求△AOB中OB邊上的高．

解答：解：（1）由

y=x2 y=(m2-1)x+m2

，
有：x²-（m²-1）x-m²=0…①
△=[-（m²-1）]²-4（-m²）=（m²+1）²＞0
∴無論m取任何實(shí)數(shù)，方程①總有兩個不同的實(shí)數(shù)根．
即無論m取任何實(shí)數(shù)，直線與拋物線總有兩個不同的交點(diǎn)．

（2）解方程①，有x₁=-1，x₂=m²；
令|m²-（-1）|=3，有m²+1=3，
∴m=±

2

；
∴當(dāng)m=±

2

時，直線與拋物線兩交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之差為3．
此時y=x+2，A（-1，1），B（2，4）．
由勾股定理，得
|OA|=

2

，|OB|=

20

．
過B作x軸的垂線，交x軸于點(diǎn)M，過A作BM的垂線．交BM于N．
則|AN|=3，|BN|=3；
∴|AB|=

18

∵|OA|²+|AB|²=|OB|²
∴由勾股定理逆定理，知△AOB為直角三角形，且∠BAO=90°，
設(shè)OB邊上的高為h，則有

1

2

|AB|•|OA|=

1

2

|OB|•h．
即

18

•

2

=

20

•h
∴h=

3 5

5

．

點(diǎn)評：本題主要考查了函數(shù)圖象交點(diǎn)的求法、一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系、勾股定理等知識點(diǎn)．