Question

已知拋物線y=x²和直線y=（m²-1）x+m²．
（1）當(dāng)m為何實(shí)數(shù)時(shí)，拋物線與直線有兩個(gè)交點(diǎn)；
（2）設(shè)坐標(biāo)原點(diǎn)為O，拋物線與直線的交點(diǎn)從左至右分別為A、B、當(dāng)直線與拋物線兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)之差為3時(shí)，求△AOB中的OB邊上的高．

Answer 1

解：（1）由，
有：x²-（m²-1）x-m²=0…①
△=[-（m²-1）]²-4（-m²）=（m²+1）²＞0
∴無論m取任何實(shí)數(shù)，方程①總有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根．
即無論m取任何實(shí)數(shù)，直線與拋物線總有兩個(gè)不同的交點(diǎn)．

（2）解方程①，有x₁=-1，x₂=m²；
令|m²-（-1）|=3，有m²+1=3，
∴m=±；
∴當(dāng)m=±時(shí)，直線與拋物線兩交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之差為3．
此時(shí)y=x+2，A（-1，1），B（2，4）．
由勾股定理，得
|OA|=，|OB|=．
過B作x軸的垂線，交x軸于點(diǎn)M，過A作BM的垂線．交BM于N．
則|AN|=3，|BN|=3；
∴|AB|=
∵|OA|²+|AB|²=|OB|²
∴由勾股定理逆定理，知△AOB為直角三角形，且∠BAO=90°，
設(shè)OB邊上的高為h，則有
|AB|•|OA|=|OB|•h．
即•=•h
∴h=．
分析：（1）聯(lián)立拋物線和直線的解析式，可得出一個(gè)關(guān)于x的一元二次方程，如果拋物線與直線有兩個(gè)交點(diǎn)，那么方程的△＞0，由此可得出m的值．
（2）本題要先根據(jù)（1）兩函數(shù)聯(lián)立得出的方程求出A，B的橫坐標(biāo)，然后根據(jù)兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)差為3，求出m的值，即可求出A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，然后根據(jù)A，B的坐標(biāo)來求△AOB中OB邊上的高．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了函數(shù)圖象交點(diǎn)的求法、一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系、勾股定理等知識(shí)點(diǎn)．