Question

【題目】如圖，拋物線與x軸交于A、B兩點，與y軸交于C點，且A（﹣1，0）．

（1）求拋物線的解析式及頂點D的坐標；

（2）判斷△ABC的形狀，證明你的結(jié)論；

（3）點M是拋物線對稱軸上的一個動點，當CM+AM的值最小時，求M的坐標；

（4）在線段BC下方的拋物線上有一動點P，求△PBC面積的最大值．

Answer 1

【答案】（1）拋物線的解析式為：y=x2﹣x﹣2，頂點D的坐標是（，﹣）；

（2）△ABC是直角三角形，理由見解析；

（3）點M的坐標為(，)；

（4）△PBC面積的最大值是4.

【解析】試題分析：（1）把點A的坐標代入函數(shù)解析式來求b的值；然后把函數(shù)解析式轉(zhuǎn)化為頂點式，即可得到點D的坐標；（2）由兩點間的距離公式分別求出AC，BC，AB的長，再根據(jù)勾股定理即可判斷出△ABC的形狀；（3）根據(jù)拋物線的性質(zhì)可得點A與點B關(guān)于對稱軸x=對稱，求出點B，C的坐標，根據(jù)軸對稱性，可得MA=MB，兩點之間線段最短可知，MC+MB的值最�。畡tBC與直線x=交點即為M點，利用得到系數(shù)法求出直線BC的解析式，即可得到點M的坐標．（4）過點P作y軸的平行線交BC于F．利用待定系數(shù)法求得直線BC的解析式，可求得點F的坐標，設(shè)P點的橫坐標為m，可得點P的縱坐標，繼而可得線段PF的長，然后利用面積和即S△PBC=S△CPF+S△BPF=PF×BO，即可求出．

試題解析：（1）把A（﹣1，0）代入得到：0=×（﹣1）2﹣b﹣2，

解得b=﹣，

則該拋物線的解析式為：y=x2﹣x﹣2．

又∵y=x2﹣x﹣2=（x﹣）2﹣，

∴頂點D的坐標是（，﹣）；

（2）由（1）知，該拋物線的解析式為：y=x2﹣x﹣2．則C（0，﹣2）．

又∵y=x2﹣x﹣2=（x+1）（x﹣4），

∴A（﹣1，0），B（4，0），

∴AC=，BC=2，AB=5，

∴AC2+BC2=AB2，

∴△ABC是直角三角形；

（3）∵頂點D的坐標為（， ），

∴拋物線的對稱軸為x=，

∵拋物線y=x2+bx2與x軸交于A，B兩點，

∴點A與點B關(guān)于對稱軸x=對稱，

∵A(1，0).

∴點B的坐標為(4，0)，

當x=0時,y=x2x2=2，

則點C的坐標為(0，2)，

則BC與直線x=交點即為M點，如圖，

根據(jù)軸對稱性，可得MA=MB，兩點之間線段最短可知，MC+MB的值最小。

設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b，

把C(0，2)，B(4，0)代入，可得，

解得： ，

∴y=x2，

當x=時，y=×2=54，

∴點M的坐標為(，).

（4）如答圖2，過點P作y軸的平行線交BC于F．

設(shè)直線BC的解析式為y=kx﹣2（k≠0）．

把B（4，0）代入，得

0=4k﹣2，

解得k=．

故直線BC的解析式為：y=x﹣2．

故設(shè)P（m， m2﹣m﹣2），則F（m， m﹣2），

∴S△PBC=PFOB=×（m﹣2﹣m2+m+2）×4=﹣（m﹣2）2+4，

即S△PBC=﹣（m﹣2）2+4，

∴當m=2時，△PBC面積的最大值是4．