Question

己知：在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，二次函數(shù)y=x²+x+1分別與x，y軸相交于點(diǎn)⌒相似，則點(diǎn)P的坐標(biāo)是________．

Answer 1

（-2，5）或（-2，1）
分析：根據(jù)二次函數(shù)y=x²+x+1可分別求出拋物線與x，y軸交點(diǎn)A，B及拋物線的對(duì)稱軸，根據(jù)拋物線的對(duì)稱軸方程設(shè)出P點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)勾股定理即可求出點(diǎn)P的坐標(biāo)．
解答：令y=0，
即x²+x+1=0，解得x=-2．
令x=0，則y=1，故A（-2，0），B（0，1），
因?yàn)辄c(diǎn)P在拋物線的對(duì)稱軸上，
所以設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為P（-2，0）
因?yàn)椤鰽OB是直角三角形，
所以△AOB與△PAB相似，
則①當(dāng)∠PAB=∠AOB=90°時(shí)，PB²=PA²+AB²，即4+（y+1）²=y²+5，解得y=0；（舍去）
②當(dāng)∠PBA=∠AOB=90°時(shí)，PA²=PB²+AB²，即4+（y+1）²=²+5，解得y=5；
③當(dāng)∠APB=∠AOB=90°時(shí)，AB²=PA²+PB²，即5=y²+4y+2y²=+1-5，2y²-2y=0，解得b=0（舍去），或b=1，
綜上所述點(diǎn)P的坐標(biāo)是（-2，5）或（-2，1）．
點(diǎn)評(píng)：此題考查的是二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)及相似三角形的判定定理，勾股定理，在解答（2）時(shí)由于兩三角形相似時(shí)的對(duì)應(yīng)角，故應(yīng)注意分類討論．