【題目】如圖,平面直角坐標(biāo)系中,A(0,3)、B(3,0)、C(﹣3,0).
(1)過(guò)B作直線MN⊥AB,P為線段OC上的一動(dòng)點(diǎn),AP⊥PH交直線M于點(diǎn)H,證明:PA=PH.
(2)在(1)的條件下,若在點(diǎn)A處有一個(gè)等腰Rt△APQ繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn),且AP=PQ,∠APQ=90°,連接BQ,點(diǎn)G為BQ的中點(diǎn),試猜想線段OG與線段PG的數(shù)量關(guān)系與位置關(guān)系,并證明你的結(jié)論.
【答案】(1)見(jiàn)解析;(2)OG=PG,OG⊥PG,見(jiàn)解析.
【解析】
(1)利用A(0,2)、B(2,0)、C(﹣2,0),得到△ABC,△OAC,△OAB都是等腰直角三角形,如圖1,過(guò)點(diǎn)P作PG∥AB交y軸與G,則∠4=∠6=45°,再證明△APG≌△PHB,得到PA=PH.
(2)OG=PG,OG⊥PG,理由:如圖2,延長(zhǎng)PG到R,使GR=PG,連接PO,OR,BR,證明△PQG≌△BRG,得到PQ=BR,∠5=∠GBR,進(jìn)而AP⊥PQ,再延長(zhǎng)AP交BR于S,交OB于T,則AP⊥BR,證明△PAO≌△RBO,得到PO=OR,∠1=∠2,所以△POR為等腰直角三角形,根據(jù)PG=GR,所以OG⊥PG,OG=PG.
(1)∵A(0,3)、B(3,0)、C(﹣3,0).
∴OA=OB=OC,
∴△ABC,△OAC,△OAB都是等腰直角三角形,
∴∠6=∠7=45°,
如圖1,過(guò)點(diǎn)P作PG∥AB交y軸與G,則∠4=∠6=45°,
∴OP=OG,
∴AO+OG=OB+OP,
即AG=PB,
∵AP⊥PH,
∴∠2+∠5=90°,
∵∠1+∠5=90°,
∴∠1=∠2,
∵MN⊥AB,
∴∠3+∠7=90°,
∴∠3=45°,
∴∠3=∠4,
在△APG和△PHB中,
,
∴△APG≌△PHB(ASA),
∴PA=PH.
(2)結(jié)論:OG=PG,OG⊥PG,
理由:如圖2,延長(zhǎng)PG到R,使GR=PG,連接PO,OR,BR,
在△PQG和△BRG中,
,
∴△PQG≌△BRG(SAS),
∴PQ=BR,∠5=∠GBR,
∴PQ∥BR,
∵AP⊥PQ,
延長(zhǎng)AP交BR于S,交OB于T,則AP⊥BR,
∵∠AOB=∠ASB=90°,∠ATR=∠BTS,
∴∠α=∠β,
∵PA=PQ,PQ=BR,
∴PA=BR,
在△PAO和△RBO中,
,
∴△PAO≌△RBO(SAS),
∴PO=OR,∠1=∠2,
∵∠1+∠POB=90°,
∴∠POB+∠2=90°,
∴△POR為等腰直角三角形,
∵PG=GR,
∴OG⊥PG,OG=PG.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,l1和l2分別是走私船和我公安快艇航行路程與時(shí)間的函數(shù)圖象,請(qǐng)結(jié)合圖象解決下列問(wèn)題:
(1)在剛出發(fā)時(shí),我公安快艇距走私船多少海里?
(2)計(jì)算走私船與公安艇的速度分別是多少?
(3)求出l1,l2的解析式.
(4)問(wèn)6分鐘時(shí),走私船與我公安快艇相距多少海里?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】(1)如圖1,圖2,圖3,在中,分別以,為邊,向外作正三角形,正四邊形,正五邊形,,相交于點(diǎn)O.
①如圖1,求證:≌;
②探究:如圖1,________;如圖2,_______;如圖3,_______;
(2)如圖4,已知:,是以為邊向外所作正n邊形的一組鄰邊:,是以為邊向外所作正n邊形的一組鄰邊,,的延長(zhǎng)相交于點(diǎn)O.
①猜想:如圖4, (用含n的式子表示);
②根據(jù)圖4證明你的猜想.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知為直徑,是直徑上一動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn),,重合),過(guò)點(diǎn)作直線交于,兩點(diǎn),是上一點(diǎn)(不與點(diǎn),重合),且,直線交直線于點(diǎn).
如圖,當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí),試判斷與的大小關(guān)系,并證明你的結(jié)論;
當(dāng)點(diǎn)在線段上,且時(shí),其它條件不變.
①請(qǐng)你在圖中畫(huà)出符合要求的圖形,并參照?qǐng)D標(biāo)記字母;
②判斷中的結(jié)論是否還成立,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知二次函數(shù)的圖象與x軸交于(, 0)和(, 0), 其中,與軸交于正半軸上一點(diǎn).下列結(jié)論:①;②;③a>b;④.其中正確結(jié)論的序號(hào)是____________.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在菱形中,于點(diǎn),于點(diǎn),且、分別為、的中點(diǎn),(如圖)則等于( )
A.
B.
C.
D.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,∠AOB=40°,點(diǎn)P在∠AOB的內(nèi)部,點(diǎn)C,D分別是點(diǎn)P關(guān)于直線OA,OB的對(duì)稱(chēng)點(diǎn),連接CD分別交OA,OB于點(diǎn)E、F.則∠EPF=___________.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,點(diǎn)D在BC邊上,DE垂直平分AC邊,垂足為點(diǎn)E,若∠B=70°,且AB+BD=BC,則∠BAC的度數(shù)是( )
A.65°B.70°C.75°D.80°
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