Question

如圖，在平面直角坐標系中，以點C（1，1）為圓心，2為半徑作圓，交x軸于A、B兩點，開口向下的拋物線經過點A、B，且其頂點P在⊙C上．
（1）求∠ACB的大�。�
（2）請直接寫出A，B，P三點的坐標；
（3）試確定此拋物線的解析式；
（4）在該拋物線上是否存在點D，使△ABD面積等于△ABC面積的3倍？若存在，求出點D的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）可通過構建直角三角形來求解．過C作CH⊥AB于H，在直角三角形ACH中，根據半徑及C點的坐標即可用三角形函數求出∠ACB的值．
（2）根據垂徑定理可得出AH=BH，然后在直角三角形ACH中可求出AH的長，再根據C點的坐標即可得出A、B兩點的坐標，根據C點的坐標和圓的半徑就叫可以求出P點的坐標．
（3）根據拋物線和圓的對稱性，即可得出圓心C和P點必在拋物線的對稱軸上，因此可得出P點的坐標為（1，3）．然后可用頂點式二次函數通式來設拋物線的解析式．根據A或B的坐標即可確定拋物線的解析式．
（4）根據A、B的坐標可以求出AB的長度，由C的坐標就可以計算出計算出△ABC的面積，設D（a，-a²+2a+2），當D點在x軸的上方和下方兩種不同的情況計算就可以求出D點的坐標．
解答：解：（1）作CH⊥x軸，H為垂足，
∵CH=1，半徑CB=2，
∴sin∠CAH=
∴∠CAH=30°，∠ABC=30°，
∴∠ACB=120°．

（2），P（1，3

（3）∵頂點P（1，3）
∴設拋物線解析式為y=a（x-1）²+3，把點代入，得
y=a（1--1）²+3，解得
a=-1
∴拋物線解析式為y=-（x-1）²+3或y=-x²+2x+2

（4）∵，
∴AB=2．
∵C（1，1），
∴CH=1，
∴S_△ABC==．
設D（a，-a²+2a+2），當D在x軸的上方時，△ABD的AB邊上的高是-a²+2a+2，
∴=3，解得：x=1，
∴D（1，3）．
當D在x軸的下方時，△ABD的AB邊上的高是a²-2a-2，
∴=3，解得：x₁=1-，x₂=1+，
∴，
綜上所述，D點的坐標是：
，D（1，3）．
點評：本題是一道二次函數的綜合試題，考查了特殊角的三角函數值，待定系數法求函數的解析式，三角形面積的運用及軸對稱的性質．