Question

如圖1，Rt△AOB中OA=OB=6，以O(shè)為圓心作一半徑為3的圓，點(diǎn)C為⊙O上一動(dòng)點(diǎn)，連接OC，過(guò)O點(diǎn)作OD⊥OC，OD與⊙O相交于點(diǎn)D，∠COD繞圓心O旋轉(zhuǎn)．

（1）當(dāng)OC∥AB時(shí)，∠BOC的度數(shù)為

 

；
（2）連接AD，當(dāng)OC∥AD時(shí)，如圖2，求證：直線BC為⊙O的切線；
（3）連接AC，BC，當(dāng)點(diǎn)C在⊙O上運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，△ABC的面積最大？并求出△ABC的面積的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：圓的綜合題

專題：代數(shù)幾何綜合題,動(dòng)點(diǎn)型,數(shù)形結(jié)合,分類討論

分析：（1）利用C點(diǎn)位置不同分類討論得出當(dāng)OC∥AB時(shí)求出∠BOC的度數(shù)；
（2）首先得出△BOC≌△AOD（SAS），進(jìn)而得出OC⊥BC，即可得出答案；
（3）利用當(dāng)點(diǎn)C在⊙O上運(yùn)動(dòng)到∠AOB的平分線OE的反向延長(zhǎng)線與⊙O的交點(diǎn)位置C時(shí)，△ABC的面積最大，進(jìn)而求出即可．

解答：（1）解：∵Rt△AOB中OA=OB=6，
∴∠OBA=∠A=45°，
當(dāng)C點(diǎn)在OB左側(cè)，AO上面時(shí)，當(dāng)OC∥AB時(shí)，∠ABO=∠BOC，則∠BOC的度數(shù)為45°，
當(dāng)C點(diǎn)在OB右側(cè)，AO下面時(shí)，當(dāng)OC∥AB時(shí)，∠BOC的度數(shù)為：90°+45°=135°，
故答案為：45°或135°；

（2）證明：如圖2，∵OC∥AD，∠AOB=90°
∴∠ADO=∠COD=∠AOB=90°，
∴∠1+∠2=90°∠3+∠2=90°
∴∠1=∠3
在△BOC和△AOD中，

OC=OD ∠BOC=∠AOD BO=AO

，
∴△BOC≌△AOD（SAS），
∴∠BCO=∠ADC=90°，
∴OC⊥BC，
∴直線BC為⊙O的切線；

（3）解：當(dāng)點(diǎn)C在⊙O上運(yùn)動(dòng)到∠AOB的平分線OE的反向延長(zhǎng)線與⊙O的交點(diǎn)位置C時(shí)，
△ABC的面積最大，（如圖3）
過(guò)O點(diǎn)作OE⊥AB于E，OE的反向延長(zhǎng)線交⊙O于C，
此時(shí)C點(diǎn)到AB的距離的最大值為CE的長(zhǎng)，
∵△OAB為等腰直角三角形，∴AB=

2

 OA=6

2

，
∴OE=AB=3

2

，OC=3
∴CE=OC+CE=3+3

2

，
△ABC的面積=CE•AB=

1

2

×（3+3

2

）×6

2

=9

2

+18．
∴△ABC的面積最大值為：9

2

+18．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了圓的綜合以及等腰直角三角形的性質(zhì)和全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，利用數(shù)形結(jié)合分類討論得出是解題關(guān)鍵．