Question

在△ABC中，∠ACB=90°，∠A＜45°，點(diǎn)O為AB中點(diǎn)，一個(gè)足夠大的三角板的直角頂點(diǎn)與點(diǎn)O重合，一邊OE經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，另一邊OD與AC交于點(diǎn)M．

（1）如圖1，當(dāng)∠A=30°時(shí)，求證：MC²=AM²+BC²；
（2）如圖2，當(dāng)∠A≠30°時(shí)，（1）中的結(jié)論是否成立？如果成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；如果不成立，請(qǐng)寫(xiě)出你認(rèn)為正確的結(jié)論，并說(shuō)明理由；
（3）將三角形ODE繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)，若直線(xiàn)OD與直線(xiàn)AC相交于點(diǎn)M，直線(xiàn)OE與直線(xiàn)BC相交于點(diǎn)N，連接MN，則MN²=AM²+BN²成立嗎？
答：　 　（填“成立”或“不成立”）

Answer 1

解：（1）證明：如圖，過(guò)A作AF⊥AC交CO延長(zhǎng)線(xiàn)于F，連接MF，

∵∠ACB=90°，∴BC∥AF。∴△BOC∽△AOF。
∴。
∵O為AB中點(diǎn)，∴OA=OB�！郃F=BC，CO=OF。
∵∠MOC=90°，∴OM是CF的垂直平分線(xiàn)。
∴CM=MF。
在Rt△AMF中，
由勾股定理得：MF²=AM²+AF²=AM²+BC²，
即MC²=AM²+BC²。
（2）還成立。理由如下：
如圖，過(guò)A作AF⊥AC交CO延長(zhǎng)線(xiàn)于F，連接MF，

∵∠ACB=90°，∴BC∥AF�！唷鰾OC∽△AOF。
∴。
∵OA=OB，∴AF=BC，CO=OF。
∵∠MOC=90°，∴OM是CF的垂直平分線(xiàn)。
∴CM=MF。
在Rt△AMF中，
由勾股定理得：MF²=AM²+AF²=AM²+BC²，
即MC²=AM²+BC²。
（3）成立

解析試題分析：（1）過(guò)A作AF⊥AC交CO延長(zhǎng)線(xiàn)于F，連接MF，根據(jù)相似求出AF=BC，CO=OF，求出FM=CM，根據(jù)勾股定理求出即可。
（2）過(guò)A作AF⊥AC交CO延長(zhǎng)線(xiàn)于F，連接MF，根據(jù)相似求出AF=BC，CO=OF，求出FM=CM，根據(jù)勾股定理求出即可；
（3）結(jié)論依然成立。
如圖，以MN的中點(diǎn)P為圓心，MN為直徑畫(huà)圓，則因?yàn)椤螦CB=90°，∠DOE=90°，所以，根據(jù)圓周角定理，O、C在⊙P上。

若MN與AB不平行，設(shè)⊙P與AB交于另一點(diǎn)F，
根據(jù)割線(xiàn)定理，得，
∵點(diǎn)O為AB中點(diǎn)，
∴。
兩式相加，得，即。
若MN與AB平行，則易證⊙P與AB相切于點(diǎn)O，
根據(jù)切割線(xiàn)定理，得，即
兩式相加，得，即。
∴不論MN與AB平行與否，總有。
在Rt△ABC中，由勾股定理得：AB²=AC²+BC²，∴。
在Rt△MNC中，由勾股定理得：MN²=CM²+CN²，即，
∴。