Question

已知直線y=2x-1與雙曲線y=

k

x

交于第一象限內(nèi)一點(diǎn)A（ m，1）
（1）直接寫出該雙曲線的函數(shù)表達(dá)式：

y=

1

x

．
（2）根據(jù)圖象直接寫出解不等式2x-1＞

1

x

（x＞0）的解集：

x＞1

．
（3）若點(diǎn)B（

a2+b2

2ab

，n）（a≠b）在雙曲線y=

k

x

上，點(diǎn)P（x₀，0）是x負(fù)半軸上一動(dòng)點(diǎn)，分別過點(diǎn)A、B作x軸的垂線交于點(diǎn)E₁和點(diǎn)E₂，連接PA、PB．
①求證：n＜1；
②當(dāng)P點(diǎn)沿x軸向點(diǎn)E₁運(yùn)動(dòng)的過程中，試探索△PAE₁的面積與△PBE₂面積的大小關(guān)系．

Answer 1

分析：（1）把點(diǎn)A代入y=2x-1中，求出m的值，把A點(diǎn)坐標(biāo)代入反比例函數(shù)解析式，求出k的值；
（2）根據(jù)圖象直接看出一次函數(shù)的圖象在反比例函數(shù)的圖象上方的x的取值范圍即可；
（3）①根據(jù)點(diǎn)B（

a2+b2

2ab

，n）（a≠b）在雙曲線y=

k

x

上，則

a2+b2

2ab

•n=1，再根據(jù)

a2+b2

2ab

＞1（a≠b），即可證得n＜1；
②首先根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)可知S△AOE1=S△BOE2，再知S_△POA＞S_△POB，進(jìn)而求出△PAE₁的面積與△PBE₂面積的大小關(guān)系．

解答：解：（1）∵直線y=2x-1過第一象限內(nèi)一點(diǎn)A（ m，1），
∴1=2m-1，
解得m=1，
∴A點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，1），
∵雙曲線y=

k

x

過第一象限內(nèi)一點(diǎn)A（ 1，1），
∴k=1，
∴雙曲線的解析式為y=

1

x

；
故答案為y=

1

x

；

（2）根據(jù)圖象直接看出當(dāng)x＞1時(shí)，一次函數(shù)的圖象在反比例函數(shù)的圖象上方；
故答案為x＞1；

（3）①∵點(diǎn)B（

a2+b2

2ab

，n）（a≠b）在雙曲線y=

1

x

上，
∴

a2+b2

2ab

•n=1，
∵a²+b²＞2ab（a≠b），
∴

a2+b2

2ab

＞1，
∴n＜1；
②根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)可知S△AOE1=S△BOE2，
再知S_△POA＞S_△POB，
故S△PAE1=S△AOE1+S_△POA＞S△PBE2=S△BOE2+S_△POB，
故△PAE₁的面積大于△PBE₂的面積．

點(diǎn)評：本題主要考查反比例函數(shù)的綜合題，解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握反比例函數(shù)的性質(zhì)，特別注意B點(diǎn)在A點(diǎn)的右側(cè)，此題難度一般．