Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線l₁經(jīng)過點(diǎn)A（2，0）且與y軸平行，直線l₂經(jīng)過點(diǎn)B（0，1）且與x軸平行，直線l₁與直線l₂相交于P，點(diǎn)E為直線l₂上一點(diǎn)，函數(shù)y=

k

x

（x＞0，k＞0且k≠2）的圖象經(jīng)過點(diǎn)E與直線l₁相交于點(diǎn)F．
（1）寫出點(diǎn)E、點(diǎn)F的坐標(biāo)（用含k的代數(shù)式表示）；
（2）求

PE

PF

的值；
（3）連接OE、OF、EF．若△OEF為直角三角形，求k的值．

Answer 1

分析：（1）由于點(diǎn)E在直線l₂上，所以把y=1代入即可得出E點(diǎn)坐標(biāo)；同理，把x=2代入即可得出F點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）由于EF的坐標(biāo)不能確定，故應(yīng)分兩種情況進(jìn)行解答；
（3）先根據(jù)相似三角形的判定定理得出△OBE∽△EFP，△OAF∽△FPE，再由相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例即可得出結(jié)論．

解答：解：（1）∵直線l₁經(jīng)過點(diǎn)A（2，0）且與y軸平行，直線l₂經(jīng)過點(diǎn)B（0，1）且與x軸平行，
∴當(dāng)y=1時(shí)，x=k；當(dāng)x=2時(shí)，y=

k

2

，
∴E（k，1），F(xiàn)（2，

k

2

）；

（2）當(dāng)0＜k＜2時(shí)，

PE

PF

=

2-k

1- k 2

=2；
當(dāng)k＞2時(shí)，

PE

PF

=

k-2

k 2 -1

=2．

（3）當(dāng)∠OEF=90°時(shí)，
∵∠OEB+∠EOB=∠OEB+∠PEF=90°，
∴∠EOB=∠PEF，
∵∠OBE=∠EFP=90°，
∴△OBE∽△EPF，
∴

OB

BE

=

PE

PF

=2，
∴

1

k

=2，
∴k=

1

2

；
當(dāng)∠OFE=90°時(shí)，
同理可得△OAF∽△FPE，
∴

AF

OA

=

PE

PF

=2，
∴

k 2

2

=2，解得k=8．
綜上所述，k=

1

2

或k=8．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是反比例函數(shù)，熟知反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)是解答此題的關(guān)鍵．