Question

如圖，△ABC為等腰直角三角形，∠BAC=90°，在邊BC上取點D，使BD=2DC，BE⊥AD交AC于E，垂足為F．求證：AE=EC．

Answer 1

考點：相似三角形的判定與性質,全等三角形的判定與性質

專題：證明題

分析：作AC⊥CG交AD的延長線于點G，則可證明△ABE≌△CAG，可得到AE=GC，再證明△ABD∽△CGD，利用相似比可得到AB=2CG，結合條件可得到AC=2AE，即AE=EC．

解答：證明：作AC⊥CG交AD的延長線于點G，
∵BE⊥AD，∠BAC=90°，
∴∠CAG+∠BAG=∠ABE+∠BAG=90°，
∴∠CAG=∠ABE，
在△ABE和△CAG中，

∠ABE=∠CAG ∠BAE=∠ACG AB=AC

，
∴△ABE≌△CAG（AAS），
∴AE=GC，
∵AB⊥AC，GC⊥AC，
∴AB∥CG，
∴

AB

CG

=

BD

CD

=2，
∴AB=2GC，
∵CG=AE，AB=AC，
∴AC=2AE，
∴AE=EC．

點評：本題主要考查全等三角形的判定和性質及平行線分線段成比例的性質，由全等得到AE=CG，再由相似找到AC與CG的關系是解題的關鍵，注意全等三角形、相似三角形的性質的應用．