Question

如圖,在平面直角坐標系中,頂點為（4,1）的拋物線交軸于點,交軸于,兩點（點在點的左側(cè)）,已知點坐標為（6,0）.

（1）求此拋物線的解析式；

（2）聯(lián)結(jié)AB,過點作線段的垂線交拋物線于點,如果以點為圓心的圓與拋物線的對稱軸相切,先補全圖形,再判斷直線與⊙的位置關(guān)系并加以證明；

（3）已知點是拋物線上的一個動點,且位于,兩點之間.問：當點運動到什么位置時,的面積最大？求出的最大面積.

 

Answer 1

【答案】

（1）拋物線的解析式為；

（2）直線BD與⊙相離；

（3）的最大面積是.

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)頂點坐標列出頂點式，再將C點坐標代入即可；

（2）先求出圓的半徑，再借助三角形相似，求出C到直線的距離，比較他們的大小即可；

（3）過點作平行于軸的直線交于點.設(shè)出點坐標，求出PQ的值，再表示出

的面積，借助函數(shù)關(guān)系式求出最值.

試題解析：（1）∵拋物線的頂點為（4,1）,

∴設(shè)拋物線解析式為.

∵拋物線經(jīng)過點（6,0）,

∴.

∴.

∴.

所以拋物線的解析式為；

(2)補全圖形、判斷直線BD與⊙相離

令=0,則,. 

∴點坐標（2,0）.

又∵拋物線交軸于點,

∴A點坐標為（0,-3）,

∴.

設(shè)⊙與對稱軸l相切于點F,則⊙的半徑CF=2,

作⊥BD于點E,則∠BEC=∠AOB=90°.

∵,

∴.

又∵,

∴.   

∴∽,

∴.

∴,

∴.

∴直線BD與⊙相離；

(3)如圖,過點作平行于軸的直線交于點.

∵A（0,-3）,（6,0）.

∴直線解析式為.

設(shè)點坐標為（,）,

則點的坐標為（,）.

∴PQ=-()=.

∵,

∴當時,的面積最大為 

∵當時,=

∴點坐標為（3,）.

綜上：點的位置是（3,）,的最大面積是.

考點：拋物線,圓,動點問題.