Question

(滿分l4分)如圖，點P是雙曲線y=(k₁<0，x<0)上一動點，過點P作x軸，y軸的垂線，分別交x軸，y軸于A，B兩點，交雙曲線y= (0<k₂<︱k₁︱)于E，F(xiàn)兩點．
(1)圖①中，四邊形PEOF 的面積S₁=__________(用含k₁，k₂的式子表示)；
(2)圖②中，設(shè)點P坐標為(-4，3)．
①判斷EF與AB的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論；
②記S₂=S_△PEF-S_△OEF，S₂是否有最小值?若有，求出其最小值；若沒有，請說明理由

Answer 1

解：(1)k₂+k₁；                                                 ……3分

(2)OEF∥AB．                                                       ……4分
證明：如圖D8—5，由題得A(-4，0)，B(0，3)，
E(-4，-)，F(xiàn)(，3)．
∴PA=3，PE=3+，PB=4，PF=4+．
∴ ，
∴                                                      ……7分
又∵∠APB=∠EPF．
∴△APB∽△EPF．∴∠PAB=∠PEF．
∴EF∥AB．                                                        ……8分
②S₂沒有最小值，理由如下：
過點E作EM⊥y軸于點M，過點F作FN⊥x軸于點N，兩線交于點Q．
由上知M(0，-)，N(，0)，Q(，-)．                   ……10分
而S_△EFQ=S_△PEF，
∴S₂=S_△PEF一S_△OEF=S_△EFQ一S_△OEF=S_△EOM+S_△FON+S_矩行OMQN
=k₂+k₂+·
= k₂+k₂²
= (k₂+6) ²—3．                                            ……12分
當k₂>一6時，S₂的值隨k₂的增大而增大，而0<k₂<12．                ……13分
∴O<S₂<24，S₂沒有最小值．                                        ……l4分

略