Question

如圖，已知⊙O_l與⊙O₂相交于A、B兩點，過點A作⊙O_l的弦AC，連接CB并延長交⊙O₂于點D，連AD．若∠CAB=∠D．
（1）求證：AC是⊙O₂的切線；
（2）若AB：AD=1：2，CD=6，求AC的長．

Answer 1

分析：（1）連A0₂并延長交⊙O₂于E，連BE，易得Rt△ABE，根據角相等的關系轉化可得∠CAE=90°，即AC⊥AO₂故AC是⊙O₂的切線．
（2）易得△ACB∽△DCA，可得比例關系，代入數據AB：AD=1：2，CD=6，可得答案．

解答：（1）證明：連A0₂并延長交⊙O₂于E，連BE，（1分）
∵∠ABE=90°，
∴∠BAE+∠AEB=90°．
∵∠CAB=∠D，
∴∠BAE+∠CAB=90°．
∴∠CAE=90°，即AC⊥AO₂．
故AC是⊙O₂的切線．

（2）解：△ACB與△DCA中，
∵∠C=∠C，∠CAB=∠D，
∴△ACB∽△DCA．
∴AC=

AB

AD

×CD=3．

點評：本題考查常見的幾何題型，包括切線的判定、線段長度的求法，要求學生掌握常見的解題方法，并能結合圖形選擇簡單的方法解題．