Question

若對任意實數(shù)x，f（x）=

1

(a2-a-2)x2+(a-2)x+1

總有意義，求實數(shù)a的取值范圍

 

．

Answer 1

考點：根的判別式

專題：計算題,分類討論

分析：f（x）總有意義，即分母不為0．分類討論：當a²-a-2=0，即（a-2）（a+1）=0，解得a=2或1．通過分析可得a=2滿足條件；當a²-a-2≠0，關于x的一元二次方程（a²-a-2）x²+（a-2）x+1=0無實數(shù)根時滿足條件，即△=（a-2）²-4（a²-a-2）=-3a²+12＜0，解不等式，然后綜合得到實數(shù)a的取值范圍．

解答：解：①當a²-a-2=0，即（a-2）（a+1）=0，
∴a=2或-1，
當a=2，分母為1，滿足條件；當a=-1，分母為-3x+1，則x=

1

3

時分母為0，不滿足條件；
（2）當a²-a-2≠0，即a≠2且a≠-1，
當關于x的一元二次方程（a²-a-2）x²+（a-2）x+1=0無實數(shù)根時滿足條件，
∴△=（a-2）²-4（a²-a-2）=-3a²+12＜0，即a²＞4，解得a＜-2或a＞2．
綜上所述，實數(shù)a的取值范圍為a＜-2或a≥2．
故答案為a＜-2或a≥2．

點評：本題考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0，a，b，c為常數(shù)）根的判別式△=b²-4ac．當△＞0，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當△=0，方程有兩個相等的實數(shù)根；當△＜0，方程沒有實數(shù)根．同時考查了分類討論思想的運用和分式有意義的條件．