Question

如圖，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD．點(diǎn)P為底邊BC的延長線上任意一點(diǎn)，PE⊥AB于E，PF⊥DC于F，BM⊥DC于M．請你探究線段PE、PF、BM之間的數(shù)量關(guān)系：

PE=PF+BM

．

Answer 1

分析：首先過點(diǎn)B作BH∥CD，交PF的延長線于點(diǎn)H，易證得四邊形BMFH是平行四邊形，即可得BG=FH，又可證得△PBE≌△PBH，即可得PH=PE，繼而證得PE=PF+BM．

解答：解：PE=PF+BM．
過點(diǎn)B作BH∥CD，交PF的延長線于點(diǎn)H，
∵PF⊥CD，BG⊥CD，∠PBH=∠DCB，
∴BM∥FH，PH⊥BH，
∴四邊形BMFH是平行四邊形，∠H=90°，
∴FH=BM，
∵等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，
∴∠ABC=∠DCB，
∴∠ABC=∠PBH，
∵PE⊥AB，
∴∠PEB=∠H=90°，
在△PBE和△PBH中，

∠PEB=∠H ∠PBE=∠PBH PB=PB

，
∴△PBE≌△PBH（AAS），
∴PH=PE，
∴PE=PF+FH=PF+BM．

點(diǎn)評：此題考查了等腰梯形的性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．