Question

如圖，以原點O為圓心的半圓交x軸于A、B兩點，點B的坐標(biāo)為（4，0），過B且垂直于x軸的直線上有一點C，過A、C的直線交半圓于D，且BC=

8 3

3

．
（1）求出點D的坐標(biāo)；
（2）求過A、B、D的拋物線的解析式；
（3）在y軸上是否存在一點P，使得|PA-PD|的值最大？如果存在，請求出此時△ADP的周長；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：圓的綜合題

專題：

分析：（1）在Rt△ABC中，求出tan∠CAB=

3

3

，求出∠CAB=30°，過D點作DH⊥AB，垂足為H，連OD，求出∠DOH，解直角三角形求出即可；
（2）設(shè)拋物線的解析式為y=a（x-4）（x+4），把D的坐標(biāo)代入求出a即可；
（3）求出AD、BD長，連結(jié)BD，并延長BD交y軸于P點，則此時|PA-PD|的值最大，求出直線BD解析式，求出BD與y軸的交點即可得出P的坐標(biāo)，再求出△ADB的周長即可．

解答：解：（1）在Rt△ABC中，AB=8，CB=

8 3

3

，
則tan∠CAB=

3

3

，
∴∠CAB=30°，
過D點作DH⊥AB，垂足為H，連OD，
∵OA=OB=OD，
∴∠CAB=∠ODA=30°，
∴OD=OB=4，∠DOB=60°，
∴∠ODH=30°，
∴OH=

1

2

OD=2，由勾股定理得：DH=2

3

，
∴點D的坐標(biāo)（2，2

3

）；

（2）設(shè)拋物線的解析式為y=a（x-4）（x+4）
此拋物線過點D，
∴把D的坐標(biāo)代入得：2

3

=a（2-4）（2+4），
∴a=-

3

6

，
∴所求拋物線的函數(shù)關(guān)系式為y=-

3

6

（x-4）（x+4）．
即y=-

3

6

x²+

8 3

3

；

（3）在y軸上存在一點P，使得|PA-PD|的值最大，
理由是：∵AB是直徑，
∴∠ADB=90°，
∵∠DAB=30°，AB=4+4=8，
∴BD=

1

2

AB=4，由勾股定理得：AD=4

3

，
∵點A、點B關(guān)于y軸對稱，
∴連結(jié)BD，并延長BD交y軸于P點，則此時|PA-PD|的值最大，
設(shè)直線BD的解析式是y=kx+b，
把B（4，0），D（2，2

3

）代入得：

0=4k+b 2 3 =2k+b

，
解得：k=-

3

，b=4

3

，
∴直線BD解析式為：y=-

3

x+4

3

，
把x=0代入得：y=4

3

，
∴點P（0，4

3

），
∵A、B關(guān)于y軸對稱，
∴PA=PB，
∵∠ADB=90°，∠DAB=30°，
∴∠PBA=60°，
∴△PAB是等邊三角形，
∴AP=PB=AB=8，
∵AD⊥PB，
∴PD=DB，
∴△ADP的周長=△ABD的周長=8+4+4

3

=12+4

3

．

點評：本題考查了等邊三角形的性質(zhì)和判定．用待定系數(shù)法求出一次函數(shù)的解析式，勾股定理，含30度角的直角三角形性質(zhì)，圓周角定理，軸對稱的性質(zhì)等知識點的應(yīng)用，主要考查學(xué)生綜合運用性質(zhì)進行計算的能力．