【題目】如圖,PB與⊙O相切于點B,過點B作OP的垂線BA,垂足為C,交⊙O于點A,連結(jié)PA,AO,AO的延長線交⊙O于點E,與PB的延長線交于點D.
(1)求證:PA是⊙O的切線;
(2)若tan∠BAD=, 且OC=4,求PB的長.
【答案】(1)證明見解析(2)PB=3
【解析】
(1)通過證明△PAO≌△PBO可得結(jié)論;
(2)根據(jù)tan∠BAD=,且OC=4,可求出AC=6,再證得△PAC∽△AOC,最后利用相似三角形的性質(zhì)以及勾股定理求得答案.
解:(1)連結(jié)OB,則OA=OB,如圖1,
∵OP⊥AB,
∴AC=BC,
∴OP是AB的垂直平分線,
∴PA=PB,
在△PAO和△PBO中,
∵ ,
∴△PAO≌△PBO(SSS),
∴∠PBO=∠PAO,
∵PB為⊙O的切線,B為切點,
∴PB⊥OB,
∴∠PBO=90°,
∴∠PAO=90°,即PA⊥OA,
∴PA是⊙O的切線;
(2)∵在Rt△AOC中,tan∠BAD=tan∠CAO=,且OC=4,
∴AC=6,則BC=6,
∴,
在Rt△APO中,AC⊥OP,
易得△PAC∽△AOC,
∴,即AC2=OCPC,
∴PC=9,
∴OP=PC+OC=13,
在Rt△PBC中,由勾股定理,得PB=.
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【題目】閱讀下列材料:有這樣一個問題:關于的一元二次方程有兩個不相等的且非零的實數(shù)根探究,,滿足的條件.
小明根據(jù)學習函數(shù)的經(jīng)驗,認為可以從二次函數(shù)的角度看一元二次方程,下面是小明的探究過程:①設一元二次方程對應的二次函數(shù)為;
②借助二次函數(shù)圖象,可以得到相應的一元二次中,,滿足的條件,列表如下:
方程根的幾何意義:
方程兩根的情況 | 對應的二次函數(shù)的大致圖象 | ,,滿足的條件 |
方程有兩個不相等的負實根 | ||
____________ | ||
方程有兩個不相等的正實根 | ____________ | ____________ |
(1)參考小明的做法,把上述表格補充完整;
(2)若一元二次方程有一個負實根,一個正實根,且負實根大于-1,求實數(shù)的取值范圍.
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【題目】如圖,在平面直角坐標系中,四邊形 OABC 為菱形,點 C 的坐標為(4,0),∠AOC = 60°,垂直于 x 軸的直線 l 從 y 軸出發(fā),沿 x 軸正方向以每秒 1 個單位長度的速度運動,設直線 l 與 菱形 OABC 的兩邊分別交與點 M、N(點 M 在點 N 的上方).
(1)求 A、B 兩點的坐標;
(2)設 OMN 的面積為 S,直線 l 運動時間為 t 秒(0 ≤t ≤6 ),試求 S 與 t 的函數(shù)表達 式;
(3)在題(2)的條件下,t 為何值時,S 的面積最大?最大面積是多少.
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【題目】如圖所示,在平面直角坐標系中,△ABC的三個頂點坐標分別為A(1,4),B(4,2),C(3,5)(每個方格的邊長均為1個單位長度)
(1)請畫出△A1B1C1,使△A1B1C1與△ABC關于原點對稱;
(2)將△ABC繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)90°,畫出旋轉(zhuǎn)后得到的△A2B2C2,并直接寫出線段OB旋轉(zhuǎn)到OB2掃過圖形的面積.
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【題目】在信息技術飛速發(fā)展的今天,智能手機的使用呈現(xiàn)出低齡化的趨勢,中小學生使用智能手機成為十分普遍的現(xiàn)象,但智能手機給生活帶來便利的同時,也對中小學生的身心發(fā)展帶來一些不利影響,比如手機屏幕對視力的傷害、關注各種“垃圾新聞”對時間的浪費、沉迷手機游戲缺少運動、人際交往等等,這些現(xiàn)象引起了家長、學校、社會的廣泛關注.對此,成都某中學學生會發(fā)出了“中小學生使用非智能手機”的倡議,鼓勵同學們?nèi)姘l(fā)展,追逐夢想,把更多時間用在將來能夠成就自我的地方.據(jù)統(tǒng)計,今年9月該中學使用非智能手機的同學有128人,倡議發(fā)出后,11月使用非智能手機的同學上升到了200人.
(1)若從9月到11月使用非智能手機的同學平均增長率相同,那么按此增長率增長到12月份該校使用非智能手機的同學將有多少人?
(2)某于機制造商發(fā)現(xiàn)當下市場上售賣的非智能手機大多品質(zhì)不佳、外觀設計成就,難以滿足市場的需要,所以該廠決定投入12萬元全部用于生產(chǎn)型、型兩款精美的“學生專用手機”投入市場,一部型手機生產(chǎn)成本為400元,售價為600元;一部型手機生產(chǎn)成本為600元,售價為930元,該廠計劃生產(chǎn)型手機的數(shù)量不少于型手機數(shù)量的2倍,但不超過型手機數(shù)量的2.3倍,求生產(chǎn)這批手機并全部售賣后可獲得的最大利潤.
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【題目】已知某種月餅形狀的俯視圖如圖1所示,該形狀由1個正六邊形和6個半圓組成,半圓直徑與正六邊形的邊長相等.
現(xiàn)商家設計了2種棱柱體包裝盒,其底面分別為矩形和正六邊形(如圖2和圖3)我們可從底面的利用率來記算整個包裝盒的利用情況.(底面利用率=×100%)
(1)請分別計算出圖2與圖3中的底面利用率(結(jié)果保留到0.1%);
(2)考慮到節(jié)約成本,商家希望底面利用率能夠不低于80%,且底面圖形仍然采用最基本的幾何形狀,請問商家的要求是否能夠滿足,若可以滿足,請設計一種方案,并直接寫出此時的利用率;若不能滿足,請說明理由.
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【題目】如圖,在△ABC中,AD為邊BC上的中線,且AD平分∠BAC.嘉淇同學先是以A為圓心,任意長為半徑畫弧,交AD于點P,交AC于點Q,然后以點C為圓心,AP長為半徑畫弧,交AC于點M,再以M為圓心,PQ長為半徑畫弧,交前弧于點N,作射線CN,交BA的延長線于點E.
(1)通過嘉淇的作圖方法判斷AD與CE的位置關系是 ,數(shù)量關系是 ;
(2)求證:AB=AC;
(3)若BC=24,CE=10,求△ABC的內(nèi)心到BC的距離.
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