Question

【題目】已知如圖，以Rt△ABC的AC邊為直徑作⊙O交斜邊AB于點E，連接EO并延長交BC的延長線于點D，點F為BC的中點，連接EF

（1）求證：EF是⊙O的切線；

（2）若⊙O的半徑為3，∠EAC＝60°，求AD的長。

Answer 1

【答案】（2）

【解析】

試題（1）連接FO，可根據(jù)三角形中位線的性質(zhì)可判斷易證OF∥AB，然后根據(jù)直徑所對的圓周角是直角，可得CE⊥AE，進而知OF⊥CE，然后根據(jù)垂徑定理可得∠FEC＝∠FCE，∠0EC＝∠0CE，再通過Rt△ABC可知∠0EC＋∠FEC＝90°，因此可證FE為⊙O的切線；

（2）根據(jù)⊙O的半徑為3，可知AO＝CO＝EO＝3，再由∠EAC＝60°可證得∠COD＝∠EOA＝60°，在Rt△OCD中，∠COD＝60°，OC＝3，可由勾股定理求得CD=3，最后根據(jù)Rt△ACD，用勾股定理求得結果.

試題解析：

證明：（1）連接FO

易證OF∥AB

∵AC⊙O的直徑

∴CE⊥AE

∵OF∥AB

∴OF⊥CE

∴OF所在直線垂直平分CE

∴FC＝FE，OE＝OC

∴∠FEC＝∠FCE，∠0EC＝∠0CE

∵Rt△ABC

∴∠ACB＝90°

即：∠0CE＋∠FCE＝90°

∴∠0EC＋∠FEC＝90°

即：∠FEO＝90°

∴FE為⊙O的切線

（2）∵⊙O的半徑為3

∴AO＝CO＝EO＝3

∵∠EAC＝60°，OA＝OE

∴∠EOA＝60°

∴∠COD＝∠EOA＝60°

∵在Rt△OCD中，∠COD＝60°，OC＝3

∴CD＝

∵在Rt△ACD中，∠ACD＝90°，

CD＝，AC＝6

∴AD＝