Question

如圖1，已知點O為菱形ABCD的對角線的交點，∠A=60°，將等邊△OEF的頂點放在O處，直線OE、OF分別交直線AB、BC于M、N．

（1）求證：ON=OM．
（2）寫出線段BM，BN與AB之間的數(shù)量關(guān)系并證明；
（3）將圖1中的△OEF繞點O順時針旋轉(zhuǎn)至圖2的位置，請直接寫出線段BM，BN與AB之間的數(shù)量關(guān)系．

Answer 1

考點：菱形的性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì),等邊三角形的性質(zhì)

專題：

分析：（1）取BC的中點G，連接OG，證明△OBM≌△OGN，根據(jù)全等三角形的對應(yīng)邊相等即可證得；
（2）同（1）的方法取BC中點G，同理可證：△OBM≌△OGN即可得到；
（3）同（1）的方法取BC中點G，延長AB交OE于點H，先證明BH=BM，再同理可證：△OBM≌△OGN即可得到．

解答：（1）證明：取BC的中點G，連接OG，
∵四邊形ABCD是菱形，∠A=60°
∴∠A=∠C=∠ABD=60°，AB=BC=CD=DA，
∵點O為菱形ABCD的對稱中心，
∴OD=OB
∴OG∥CD    
∴∠BGO=∠C=60°，OG=OB
∵△OEF是等邊三角形，
∴∠EOF=60°，
∴∠BOM=∠NOG
又∵∠BGO=∠ABD=60°
在△OBM和△OGN中，

∠BOM=∠NOG OB=OG ∠BGO=∠ABD

，
∴△OBM≌△OGN（ASA），
∴OM=ON；
（2）BN+BM=

1

2

AB，證明如下：
取BC中點G，
同理可證：△OBM≌△OGN，
∴BM=GN，
∴BG=BN+NG，
∴BN+BM=BG=

1

2

AB；
（3）BN-BM=

1

2

AB，證明如下：
取BC中點G，同理可證得△OBM≌△OGN，
∴BM=GN，
∴BG=BN-NG，
∴BN-BM=BG=

1

2

AB．

點評：本題考查了全等三角形的全等的判定與性質(zhì)，證明線段相等的問題常用的方法是轉(zhuǎn)化為證三角形全等，正確作出輔助線是關(guān)鍵．