Question

如圖，在△ABC中，三個內角的角平分線交于點O，OE⊥BC于點E．
（1）求∠ABO+∠BCO+∠CAO的度數(shù)；
（2）求證：∠BOD=∠COE．

Answer 1

（1）∵AD、BM、CN分別是△ABC的三個內角的角平分線，
∴∠ABO=

1

2

∠ABC，∠BCO=

1

2

∠ACB，∠CAO=

1

2

∠CAB．
又∵∠ABC+∠ACB+∠CAB=180°，
∴∠ABO+∠BCO+∠CAO=

1

2

（∠ABC+∠ACB+∠CAB）=

1

2

×180°=90°；

（2）證明：∵∠BOD=∠BAO+∠ABO，∠BAO=∠CAO，
∴∠BOD=∠CAO+∠ABO=

1

2

（∠BAC+∠ABC）=

1

2

（180°-∠ACB）=90°-

1

2

∠ACB=90°-∠BCO．
又∵OE⊥BC，
∴∠OEC=90°，
∴∠COE=90°-∠ECO．
∴∠BOD=∠COE．