Question

如圖，正方形ABCD的邊長為2，M為AD的中點，N在邊CD上且∠NMB=∠MBC，MN的延長線與BC的延長線交于點G，則GN的長是

 

．

Answer 1

考點：相似三角形的判定與性質(zhì),正方形的性質(zhì)

專題：創(chuàng)新題型

分析：過M作MH⊥BC于H，得出四邊形AMHB和四邊形MDCH是矩形，先求證EF=BM，根據(jù)勾股定理求出BM、EF，求出△MBF面積，根據(jù)S_△BHM+S_△MHF=

5

2

得出

1

2

×1×2+

1

2

×（1+CF）×2=

5

2

，求出即可．

解答：解：過M作MH⊥BC于H，
則四邊形AMHB和四邊形MDCH是矩形，
即DM=CH=1，BH=AM=1，MH=CD=2，
∵M(jìn)為AD的中點，
∴AM=DM=

1

2

AD=

1

2

AB，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC，
∴∠EBF=∠AMB，
∵EF⊥BM，
∴∠A=∠BEF=90°，
∴△EBF∽△AMB，
∴

EF

BE

=

AB

AM

=

2

1

，
∴EF=2BE=BM，
即BM=EF；
在Rt△ABM中，由勾股定理得：EF=BM=

22+12

=

5

，
S_△BMF=

1

2

BM×EF=

1

2

×

5

×

5

=

5

2

，
∴S_△BHM+S_△MHF=

5

2

，
∴

1

2

×1×2+

1

2

×（1+CF）×2=

5

2

，
∴CF=

1

2

．
∵

CF

FH

=

CN

MH

，
∴CN=

2

3

，
∴根據(jù)勾股定理計算得FN=

CF2+CN

2=

5

6

．
故答案為

5

6

．

點評：本題考查了相似三角形的性質(zhì)和判定，勾股定理，正方形性質(zhì)等知識點，主要考查學(xué)生是否熟練運用性質(zhì)進(jìn)行推理和計算，題目綜合性比較強(qiáng)，有一定的難度．