【題目】在△ABC中,AB=AC,∠BAC=α,點(diǎn)P是△ABC內(nèi)一點(diǎn),且.連接PB,試探究PA,PB,PC滿足的等量關(guān)系.
圖1 圖2
(1)當(dāng)α=60°時,將△ABP繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到,連接,如圖1所示.
由≌可以證得是等邊三角形,再由可得∠APC的大小為 度,進(jìn)而得到是直角三角形,這樣可以得到PA,PB,PC滿足的等量關(guān)系為 ;
(2)如圖2,當(dāng)α=120°時,請參考(1)中的方法,探究PA,PB,PC滿足的等量關(guān)系,并給出證明;
(3)PA,PB,PC滿足的等量關(guān)系為 .
【答案】(1)150, (2)證明見解析(3)
【解析】試題分析:(1)根據(jù)旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)得到△PAP′為等邊三角形,得到∠P′PC=90°,根據(jù)勾股定理解答即可;
(2)如圖2,作將△ABP繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)120°得到△ACP′,連接PP′,作AD⊥PP′于D,根據(jù)余弦的定義得到PP′=PA,根據(jù)勾股定理解答即可;
(3)與(2)類似,根據(jù)旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)、勾股定理和余弦、正弦的關(guān)系計(jì)算即可.
試題解析:
解:(1)∵△ABP≌△ACP′,
∴AP=AP′,
由旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)可知,∠PAP′=60°,P′C=PB,
∴△PAP′為等邊三角形,
∴∠APP′=60°,
∵∠PAC+∠PCA=×60° =30°,
∴∠APC=150°,
∴∠P′PC=90°,
∴PP′2+PC2=P′C2,
∴PA2+PC2=PB2,
故答案為:150,PA2+PC2=PB2;
(2)如圖,作°,使,連接, .過點(diǎn)A作AD⊥于D點(diǎn).
∵°,
即,
∴.
∵AB=AC, ,
∴.
∴, °.
∵AD⊥,
∴°.
∴在Rt 中, .
∴.
∵°,
∴°.
∴°.
∴在Rt 中, .
∴;
(3)如圖2,與(2)的方法類似,
作將△ABP繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)α得到△ACP′,連接PP′,
作AD⊥PP′于D,
由旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)可知,∠PAP′=α,P′C=PB,
∴∠APP′=90°-,
∵∠PAC+∠PCA=,
∴∠APC=180°-,
∴∠P′PC=(180°-)-(90°-)=90°,
∴PP′2+PC2=P′C2,
∵∠APP′=90°-,
∴PD=PAcos(90°-)=PAsin,
∴PP′=2PAsin,
∴4PA2sin2
故答案為:4PA2sin2+PC2=PB2.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知關(guān)于x,y的方程組
(1)請直接寫出方程的所有正整數(shù)解
(2)若方程組的解滿足x+y=0,求m的值
(3)無論實(shí)數(shù)m取何值,方程x-2y+mx+5=0總有一個固定的解,請直接寫出這個解?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,矩形ABCD中,AB=12,點(diǎn)E是AD上的一點(diǎn),AE=6,BE的垂直平分線交BC的延長線于點(diǎn)F,連接EF交CD于點(diǎn)G.若G是CD的中點(diǎn),則BC的長是__________.
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【題目】(1)計(jì)算:
①
② -10 - (-31)
③1÷(﹣)×;
④(-2)2×5+(-2)3÷4
⑤
(2)比較大小
①1.5與4 ②2與-7
③與 ④ 與
(3)用簡便方法計(jì)算:
①
②
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【題目】在矩形ABCD中,AB=3,BC=6,P為BC邊上一點(diǎn),△APD為等腰三角形.
(1)小明畫出了一個滿足條件的△APD,其中PA=PD,如圖1所示,則tan 的值為 ;
(2)請你在圖2中再畫出一個滿足條件的△APD(與小明的不同),并求此時tan 的值.
圖1 圖2
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【題目】回答下列問題:
(1)如圖所示的甲、乙兩個平面圖形能折什么幾何體?
(2)由多個平面圍成的幾何體叫做多面體.若一個多面體的面數(shù)為f,頂點(diǎn)個數(shù)為v,棱數(shù)為e,分別計(jì)算第(1)題中兩個多面體的f+v﹣e的值?你發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律?
(3)應(yīng)用上述規(guī)律解決問題:一個多面體的頂點(diǎn)數(shù)比面數(shù)大8,且有50條棱,求這個幾何體的面數(shù).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知線段AB=2,點(diǎn)P是線段AB上一點(diǎn),分別以AP、BP為邊作兩個正方形.
(1)如果APx,求兩個正方形的面積之和S;
(2)當(dāng)點(diǎn)P是AB的中點(diǎn)時,求兩個正方形的面積之和S1;
(3)當(dāng)點(diǎn)P不是AB的中點(diǎn)時,比較(1)中的S與(2)中S1的大小.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】小左同學(xué)想利用影長測量學(xué)校旗桿的高度,如圖,她在某一時刻立一長度為1米的標(biāo)桿,測得其影長為米,同時旗桿投影的一部分在地上,另一部分在某一建筑物的墻上,測得旗桿與建筑物的距離為10米,旗桿在墻上的影高為2米,請幫小左同學(xué)算出學(xué)校旗桿的高度.
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【題目】問題情境:如圖1,AB∥CD, ,.求度數(shù).
小明的思路是:如圖2,過P作PE∥AB,通過平行線性質(zhì),可得 _______.
問題遷移:如圖3,AD∥BC,點(diǎn)P在射線OM上運(yùn)動, , .
(1)當(dāng)點(diǎn)P在A、B兩點(diǎn)之間運(yùn)動時, 、、之間有何數(shù)量關(guān)系?請說明理由.
(2)如果點(diǎn)P在A、B兩點(diǎn)外側(cè)運(yùn)動時(點(diǎn)P與點(diǎn)A、B、O三點(diǎn)不重合),請你直接寫出、、之間的數(shù)量關(guān)系.
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