Question

如圖，BD是⊙O的直徑，E是⊙O上的一點，直線AE交BD延長線于A，BC⊥AE于C，且∠CBE=∠DBE．
（1）求證：AC是⊙O的切線．
（2）若⊙O的半徑為2，AE=，求AD的長．

Answer 1

解：（1）連接OE
∴OB=OE，∴∠OBE=∠OEB，
∵∠CBE=∠DBE，∴∠OEB=∠CBE，
∴OE∥BC，
∵BC⊥AE，
∴OE⊥AC，
∴AC是⊙O的切線；

（2）在直角三角形AOE中，OE²+AE²=AO²，
∵OD=OE=2，AE=，
∴4+32=（AD+2）²，
∴AD+2=6，
∴AD=4．
分析：（1）連接OE，則OB=OE，即可得出∠OBE=∠OEB，再由已知得出∠OEB=∠CBE，則OE∥BC，從而證出OE⊥AC；
（2）在直角三角形AOE中，根據(jù)勾股定理可直接求出AD．
點評：本題考查了切線的性質(zhì)和判定，勾股定理以及圓周角定理，是基礎(chǔ)知識要熟練掌握．