Question

如圖，已知矩形ABCD，AP⊥AC交BD的延長線于P，點E在AP上，以AE為直徑的⊙O正好過D點．
（1）判斷BD與⊙O的位置關(guān)系，并予以證明；
（2）若PE=1，PD=2，求⊙O的半徑長．

Answer 1

（1）BD與⊙O相切．
證明：連接OD；
由矩形ABCD可知∠DAC=∠ADB，
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA，
∵AP⊥AC，
∴∠ODA+∠ADB=∠OAC=90°，
∴∠ODB=90°，
∴BD與⊙O相切．

（2）解：設(shè)半徑為r，
由切割線定理PD²=PE×PA，
解得r=．
分析：（1）連接OD，由矩形ABCD可知∠DAC=∠ADB，又知∠OAD=∠ODA，故可得∠ODB=90°，
（2）設(shè)半徑為r，由切割線定理PD²=PE×PA，解得r．
點評：本題考查了切線的判定等知識點．要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點，連接圓心與這點（即為半徑），再證垂直即可．