Question

如圖，Rt△ABC≌Rt△FED，其中∠BCA=∠EDF=90°，∠B=∠E=30°，AC=FD=

3

．開(kāi)始時(shí)，AC與FD重合，△DEF不動(dòng)，讓△ABC沿BE方向以每秒1個(gè)單位的速度向右平移，直到點(diǎn)C與點(diǎn)E重合為止．設(shè)移動(dòng)x秒，兩個(gè)三角形重疊部分的面積為y．
（1）求出y與x的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出x的取值范圍．
（2）請(qǐng)問(wèn)運(yùn)動(dòng)多長(zhǎng)時(shí)間，重疊部分的面積最大？并求出最大面積．

Answer 1

考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì),二次函數(shù)的最值

專題：

分析：（1）設(shè)AB和DF、AC和EF分別交于點(diǎn)M、N，AB、EF交于點(diǎn)O，過(guò)O作OP⊥BE于點(diǎn)P，可用x分別表示出DM、CN、OP的長(zhǎng)，可表示出梯形DMOP和CNOP的面積，可求得y與x的函數(shù)關(guān)系式；
（2）結(jié)合（1）是的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)二次函數(shù)的最值可求得答案．

解答：解：
（1）如圖，設(shè)AB和DF、AC和EF分別交于點(diǎn)M、N，AB、EF交于點(diǎn)O，過(guò)O作OP⊥BE于點(diǎn)P，

在△ABC中，AC=

3

，∠B=30°，
∴BC=3，AB=2

3

，
由題意可知當(dāng)運(yùn)動(dòng)x秒時(shí)，移動(dòng)距離為x，
即CD=x，則BD=CE=3-

3

，
在△BPO和△EPO中

∠B=∠E ∠BPO=∠EPO OP=OP

∴△BPO≌△EPO（AAS），
∴BP=EP，
∴DP=PC=

1

2

CD=

1

2

x，
∴BP=BC-PC=3-

1

2

x，
同理可求得DM=CN，
在Rt△BDM中，∠B=30°，BD=3-x，
∴DM=BD•tan30°=（3-x）×

3

3

=

3

-

3

3

x，
同理可求得OP=BP•tan30°=（3-

1

2

x）×

3

3

=

3

-

3

6

x，
∴y=S_梯形DPOM+S_梯形CNOP=

1

2

（DM+OP）DP+

1

2

（CN+OP）DP=

1

2

（DM+OP）DC=

1

2

（2

3

-

3

2

x）×x=-

3

4

x²+

3

x，
即y與x的函數(shù)關(guān)系式為y=-

3

4

x²+

3

x，其中0≤x≤3；
（2）由（1）知y=-

3

4

x²+

3

x=-

3

4

（x-2）²+

3

，
∴當(dāng)x=2時(shí)，y有最大值，最大值為

3

，
即當(dāng)運(yùn)動(dòng)2秒時(shí)，重疊部分的面積最大，最大面積為

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)表達(dá)式的求法及二次函數(shù)的最值，根據(jù)題意確定出重疊部分的圖形，利用x表示出重疊部分的面積是解題的關(guān)鍵，用時(shí)間表示出相關(guān)線段的長(zhǎng)度是解決這類問(wèn)題的基本思路．