Question

已知：如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，一次函數(shù)y=-x的圖象與反比例函數(shù)y=的圖象交于A、B兩點(diǎn)．

（1）求k的值；

（2）如果點(diǎn)P在y軸上，且滿足以點(diǎn)A、B、P為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形，直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

（1）-1；（2）P點(diǎn)坐標(biāo)為（0，）、（0，-）、（0，2）、（0，-2）．

【解析】

試題分析：（1）首先求出A點(diǎn)坐標(biāo)，再把A點(diǎn)坐標(biāo)代入y=即可得到k的值；

（2）BD⊥y軸，AC⊥y軸，如圖，設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（0，y），先根據(jù)對稱得到B點(diǎn)坐標(biāo)為（1，-1），再根據(jù)勾股定理得到AB2=22+22=8，PB2=PD2+BD2=（y+1）2+12，PA2=PC2+AC2=（y-1）2+12，然后分類討論：當(dāng)△APB是以AB為斜邊的直角三角形，則PB2+PA2=AB2；當(dāng)△APB是以PB為斜邊的直角三角形，則AB2+PA2=PB2；當(dāng)△APB是以PA為斜邊的直角三角形，AB2+PB2=PA2，分別得到關(guān)于y的方程，解方程求出y的值即可得到P點(diǎn)坐標(biāo)．

試題解析：（1）∵一次函數(shù)y=-x的圖象與反比例函數(shù)y=的圖象交于A、B兩點(diǎn)，

根據(jù)圖象可得出A點(diǎn)橫坐標(biāo)為-1，代入一次函數(shù)解析式，

∴y=-（-1）=1，

∴A點(diǎn)坐標(biāo)為：（-1，1），

∵反比例函數(shù)y=的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（-1，1），

∴k=-1×1=-1；

（2）作BD⊥y軸，AC⊥y軸，如圖，設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（0，y），

∵點(diǎn)A與B點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對稱，

∴B點(diǎn)坐標(biāo)為（1，-1），

∴AB2=22+22=8，PB2=PD2+BD2=（y+1）2+12，PA2=PC2+AC2=（y-1）2+12，

分類：當(dāng)△APB是以AB為斜邊的直角三角形，則PB2+PA2=AB2，

∴PB2+PA2=AB2，即（y+1）2+12+（y-1）2+12=8，解得y=±；

當(dāng)△APB是以PB為斜邊的直角三角形，

∴AB2+PA2=PB2，即（y+1）2+12=（y-1）2+12+8，解得y=2；

當(dāng)△APB是以PA為斜邊的直角三角形，

∴AB2+PB2=PA2，即（y-1）2+12=（y+1）2+12+8，解得y=-2；

∴P點(diǎn)坐標(biāo)為（0，）、（0，-）、（0，2）、（0，-2）．

考點(diǎn)：反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題．