Question

如圖，四邊形ABCD的對角線AC、BD交于點O，BE⊥AC于E，DF⊥AC于F，點O既是AC的中點，又是EF的中點．

（1）求證：△BOE≌△DOF；

（2）若OA=BD，則四邊形ABCD是什么特殊四邊形？請說明理由．

Answer 1

（1）證明見解析；（2）矩形．理由見解析．

【解析】

試題分析：（1）首先根據(jù)垂直可得∠BEO=∠DFO=90°，再由點O是EF的中點可得OE=OF，再加上對頂角∠DOF=∠BOE，可利用ASA證明△BOE≌△DOF；

（2）首先根據(jù)△BOE≌△DOF可得DO=BO，再加上條件AO=CO可得四邊形ABCD是平行四邊形，再證明DB=AC，可根據(jù)對角線相等的平行四邊形是矩形證出結論．

試題解析：（1）證明：∵BE⊥AC．DF⊥AC，

∴∠BEO=∠DFO=90°，

∵點O是EF的中點，

∴OE=OF，

又∵∠DOF=∠BOE，

∴△BOE≌△DOF（ASA）；

（2）【解析】
四邊形ABCD是矩形．理由如下：

∵△BOE≌△DOF，

∴OB=OD，

又∵OA=OC，

∴四邊形ABCD是平行四邊形，

∵OA=BD，OA=AC，

∴BD=AC，

∴?ABCD是矩形．

考點：1．矩形的判定；2．全等三角形的判定與性質．