Question

如圖1，已知直線y₁=kx+4與函數(shù)y2=

a

x

的圖象相交于點(diǎn)A（1，3）、B（ m，1）兩點(diǎn)．

（1）求a、k、m的值；
（2）求y₁＞y₂時(shí)x的取值范圍（請(qǐng)直接寫出答案）；
（3）求△AOB的面積；
（4）如圖2，M（0，2）、N（2，0），在上述函數(shù)y2=

a

x

（x＞0）的圖象上取一點(diǎn)P（點(diǎn)P的橫坐標(biāo)大于2），過點(diǎn)P作PQ⊥x軸，垂足是Q．若四邊形MNQP的面積等于2，求P點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）將點(diǎn)A（1，3），代入y₁、y₂可得出k、a的值，然后將點(diǎn)B（m，1）代入y₂可得出m的值．
（2）根據(jù)圖象即可得出y₁＞y₂時(shí)x的取值范圍．
（3）求出直線AB與x軸的交點(diǎn)E的坐標(biāo)，然后求出S_△AOE、S_△BOE，根據(jù)S_△AOB=S_△AOE-S_△BOE，可得出△AOB的面積．
（4）根據(jù)（1）中求得a的值，可設(shè)點(diǎn)P（x，

3

x

），連接OP，根據(jù)S_△MOP+S_△OPQ=S_△MON+S_{四邊形MNQP}，可得出x的值，繼而得出點(diǎn)P的坐標(biāo)．

解答：解：（1）將點(diǎn)A（1，3）代入y₁=kx+4，可得k+4=3，
解得：k=-1；
將點(diǎn)A（1，3）代入，y₂=

a

x

，可得3=

a

1

，
解得：a=3，即可得y₂=

3

x

，
將點(diǎn)B（m，1）代入y₂=

3

x

，可得1=

3

m

，
解得：m=3；
綜上可得：k=-1，a=3，m=3；

（2）結(jié)合函數(shù)圖象可得：當(dāng)x＜0或1＜x＜3時(shí)，y₁＞y₂．

（3）
由y₁=-x+4可得點(diǎn)E的坐標(biāo)為（4，0），
則S_△AOE=

1

2

OE×A_縱=6，S_△BOE=

1

2

OE×B_縱=2，
故可得S_△AOB=S_△AOE-S_△BOE=4；

（4）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，

3

x

），
S_△MPO=

1

2

OM×P_橫=x，S_△POQ=

1

2

|a|=

3

2

，S_△MON=

1

2

OM×ON=2，
則S_△MOP+S_△OPQ=S_△MON+S_{四邊形MNQP}=S_{四邊形MPQO}，
即x+

3

2

=2+2，
解得：x=

5

2

，則

3

x

=

6

5

，
故點(diǎn)P的坐標(biāo)為：（

5

2

，

6

5

）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了反比例函數(shù)綜合題，涉及了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、不規(guī)則圖形面積的求法及反比例函數(shù)k的幾何意義，綜合性較強(qiáng)，解答本題要求我們熟悉各個(gè)知識(shí)點(diǎn)，能將所學(xué)的知識(shí)融會(huì)貫通，難度較大．