【題目】如圖,在 Rt△ABC 中,∠C=90°,AC=8cm,BC=6cm,M 在 AC上,且AM=6cm,過點 A(與 BC 在 AC 同側)作射線 AN⊥AC,若動點 P 從點 A 出發(fā),沿射線 AN 勻速運動,運動速度為 1cm/s,設點 P 運動時間為 t 秒.
(1)經(jīng)過 秒時,Rt△AMP 是等腰直角三角形?
(2)經(jīng)過幾秒時,PM⊥MB?
(3)經(jīng)過幾秒時,PM⊥AB?
(4)當△BMP 是等腰三角形時,直接寫出 t 的所有值.
【答案】(1)6;(2)2;(3)8;(4)2或.
【解析】
(1)得出腰時AM=AP,即可得出答案;
(2)根據(jù)垂直的定義和同角的余角相等得到∠CBM=∠AMP,證明△CBM≌△AMP,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到 AP=CM=2,根據(jù)題意得到答案;
(3)證明△APM≌△CAB,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到 AP=CA=8,根據(jù)題意得到答案;
(4)分 MB=MP 和 PB=PM 兩種情況,根據(jù)全等三角形的性質(zhì),勾股定理計算即可.
(1)當 Rt△AMP 是等腰直角三角形時,AP=AM=6cm,
∴t=6÷1=6(s),
故答案為:6;
(2)當 PM⊥MB 時,∠BMP=90°,
∴∠BMC+∠AMP=90°,又∠BMC+∠CBM=90°,
∴∠CBM=∠AMP,
在△CBM 和△AMP 中,
,
∴△CBM≌△AMP(ASA),
∴AP=CM=2,
∴t=2,即經(jīng)過 2 秒時,PM⊥MB;
(3)當 PM⊥AB 時,如圖1,∠PHA=90°,
∴∠HPA+∠HAP=90°,又∠HAP+∠CAB=90°,
∴∠APM=∠CAB,
在△APM 和△CAB 中,
,
∴△APM≌△CAB(ASA),
∴AP=CA=8,
∴t=8,
∴經(jīng)過 8 秒時,PM⊥AB;
(4)根據(jù)勾股定理得,BM=,BP 的最小值為 8,
∵<8,
∴BM≠BP,
當 MB=MP 時,
在 Rt△BCM 和 Rt△MAP 中,
,
∴Rt△BCM≌Rt△MAP(HL),
∴AP=CM=2, 則 t=2,
當 PB=PM 時,如圖2,作BF⊥AN于 F, 則四邊形 BCAF 為矩形,
∴BF=CA=8,AF=BC=6,
∴PF=6﹣t,
由勾股定理得,BP2=PF2+BF2,MP2=AM2+AP2,
∴PF2+BF2=AM2+AP2,即(6﹣t)2+82=62+t2, 解得,t=,
∴當△BMP 是等腰三角形時,t=2 或.
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【題目】 我們定義:如圖1、圖2、圖3,在△ABC中,把AB繞點A順時針旋轉α(0°<α<180°)得到AB′,把AC繞點A逆時針旋轉β得到AC′,連接B′C′,當α+β=180°時,我們稱△AB'C′是△ABC的“旋補三角形”,△AB′C′邊B'C′上的中線AD叫做△ABC的“旋補中線”,點A叫做“旋補中心”.圖1、圖2、圖3中的△AB′C′均是△ABC的“旋補三角形”.
(1)①如圖2,當△ABC為等邊三角形時,“旋補中線”AD與BC的數(shù)量關系為:AD= BC;
②如圖3,當∠BAC=90°,BC=8時,則“旋補中線”AD長為 .
(2)在圖1中,當△ABC為任意三角形時,猜想“旋補中線”AD與BC的數(shù)量關系,并給予證明.
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【題目】 如圖,正方形網(wǎng)格中的每個小正方形的邊長都是1,每個小正方形的頂點叫作格點.△ABC的三個頂點A,B,C都在格點上,將△ABC繞點A按順時針方向旋轉90°得到△AB′C′.
(1)在正方形網(wǎng)格中,畫出△AB'C′;
(2)畫出△AB′C′向左平移4格后的△A′B″C″;
(3)計算線段AB在變換到AB′的過程中掃過區(qū)域的面積.
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【題目】P為等邊△ABC內(nèi)的一點,PA=10,PB=6,PC=8,將△ABP繞點B順時針旋轉60°到△CBP′位置.
(1)判斷△BPP′的形狀,并說明理由;
(2)求∠BPC的度數(shù).
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【題目】某班抽取6名同學參加體能測試,成績?nèi)缦拢?5,95,85,80,80,85.下列表述錯誤是( )
A.眾數(shù)是85
B.平均數(shù)是85
C.方差是20
D.極差是15
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【題目】如圖,在△ABC和△ADC中,已知AB=8,∠ACB=105°,∠B=45°,且∠ACB=∠BAD,∠B=∠D,則線段CD的長是____.
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【題目】如圖,正△ABC的邊長為2,過點B的直線l⊥AB,且△ABC與△A′BC′關于直線l對稱,D為線段BC′上一動點,則AD+CD的最小值是( )
A. 4 B. 3 C. 2 D. 2+
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【題目】已知∠BOC=60°,OF平分∠BOC.若AO⊥BO,OE平分∠AOC,則∠EOF的度數(shù)是( )
A. 45°
B. 15°
C. 30°或60°
D. 45°或15°
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【題目】如圖,△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC,∠ABC的平分線BE交AD于點F,AG平分∠DAC.給出下列結論:①∠BAD=∠C;②AE=AF;③∠EBC=∠C;④FG∥AC;⑤EF=FG.其中正確的結論是_____.
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