Question

如圖，四邊形ABCD為平行四邊形，AD=a，BE∥AC，DE交AC的延長(zhǎng)線于F點(diǎn)，交BE于E點(diǎn)．
（1）求證：DF=FE；
（2）若AC=2CF，∠ADC=60°，AC⊥DC，求BE的長(zhǎng)．

Answer 1

分析：（1）可過點(diǎn)C延長(zhǎng)DC交BE于M，可得C，F(xiàn)分別為DM，DE的中點(diǎn)；
（2）在直角三角形ADC中利用勾股定理求解即可；

解答：解：（1）證明：延長(zhǎng)DC交BE于點(diǎn)M，
∵BE∥AC，AB∥DC，
∴四邊形ABMC是平行四邊形，
∴CM=AB=DC，C為DM的中點(diǎn)，BE∥AC，
則CF為△DME的中位線，
DF=FE；

（2）由（1）得CF是△DME的中位線，故ME=2CF，
又∵AC=2CF，四邊形ABMC是平行四邊形，
∴AC=ME，
∴BE=2BM=2ME=2AC，
又∵AC⊥DC，
∴在Rt△ADC中利用勾股定理得AC=AD•sin∠ADC=

3

2

a，
∴BE=

3

a．

點(diǎn)評(píng)：本題結(jié)合三角形的有關(guān)知識(shí)綜合考查了平行四邊形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是理解中位線的定義，會(huì)用勾股定理求解直角三角形．