Question

【題目】如圖，點在拋物線上，且該拋物線與軸分別交于點和點，與軸交于點．

（1）求拋物線的解析式及對稱軸；

（2）若點是拋物線對稱軸上的一個動點，求的最小值；

（3）點是是拋物線上除點外的一點，若與的面積相等，求點的坐標．

Answer 1

【答案】（1），；（2）；（3）滿足條件的點有三個，分別是：，，

【解析】

（1）由已知M（1，-3）和B（-1，0），使用待定系數法解答即可；

（2）作點M（1，-3）關于對稱軸的對稱點為M１（2，-3），連接OM，則OD+MD的最小值為OD+DM=OM；

（3）①過M做MN∥AC交拋物線與點N1，直線MNi的解析式為為，與拋物線解析式聯立求N；②過點M作MG⊥x軸，交AC于點H，過點G作N2N3∥AC，交拋物線與點N2，N3，則直線N2N3的解析式為，與拋物線解析式聯立求N的坐標．

（1）解：把點和代入拋物線，得

解得

∴拋物線的解析式為：

對稱軸：

（2）點關于對稱軸對稱的對稱點

過點作軸交軸于點

，有最小值

∴

（3）由（1）易知，

∴得到直線解析式為

∵，

①過作，交拋物線于點，

∵ ∴直線解析式為

得

解得，

∴

②過點作直線軸，交于點，

，∴，

過點作，，交拋物線于點，

則直線解析式為，

得：

解得：或

∴，

∴滿足條件的點有三個，分別是：，，