Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，點(diǎn)A （-15，0），AB=25，AC=15，點(diǎn)C在第二象限，點(diǎn)P是y軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接AP，并把△AOP繞著點(diǎn)A逆時(shí)鐘方向旋轉(zhuǎn)．使邊AO與AC重合．得到△ACD．
（1）求直線AC的解析式；
（2）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)（0，5）時(shí)，求此時(shí)點(diǎn)D的坐標(biāo)及DP的長；
（3）是否存在點(diǎn)P，使△OPD的面積等于5？若存在，請求出符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）設(shè)直線AC的解析式為：y=kx+b，由于A，C兩點(diǎn)都在第二象限，所以k＞0，即：k=tan∠A，將點(diǎn)A代入求出b的值即可；
（2）設(shè)點(diǎn)D（x，y）旋轉(zhuǎn)后，CD=OP=5，∠DAC=∠D，根據(jù)三角形中∠ABC的正弦，余弦值可以求出x，y即可，由兩點(diǎn)間的距離公式求出DP的長即可；
（3）根據(jù)題意設(shè)點(diǎn)P（0，a），分當(dāng)a＞0時(shí)和當(dāng)-＜a＜0，a＜-，列出等量關(guān)系求出滿足條件a的值，若存在則求出點(diǎn)P的坐標(biāo)即可．
解答：解：（1）設(shè)直線AC的解析式為：y=kx+b，
∵點(diǎn)A （-15，0）且C點(diǎn)在第二象限，△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，
∴k＞0，即k=tan∠A====，
又∵直線AC過點(diǎn)A-15，0），
即：0=×（-15）+b，
∴b=20，
∴直線AC的解析式為：；

（2）點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)（0，5）時(shí)，CD=OP=5，AD==5，
設(shè)D（x，y），
則x=-（OA-cos∠DAB×AD）=-（OA-cos∠D×AD）=-10；
y=sin∠DAB×AD=×AD=AC==15；
∴D（-10，15），；

（3）設(shè)P（0，a），則
當(dāng)a＞0時(shí)，
解得：，（舍去）
當(dāng)時(shí)，．
解得，a₂=-5
當(dāng)時(shí)，
解得（舍去），
∴存在點(diǎn)P，使△OPD的面積等于5，，P₂（0，-5），，．
點(diǎn)評：解答一次函數(shù)的應(yīng)用問題中，要注意自變量的取值范圍還必須使實(shí)際問題有意義．