已知：如圖，在平行四邊形ABCD中，AC、BD交于點O，AE⊥BD，CF⊥BD，E、F為垂足．求證：AC與EF互相平分．（請用兩種方法證明）

證明：方法一：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴OA=OC．
∵∠AOE=∠COF，∠AEO=∠CFO=90°
∴△AEO≌△CFO
∴OE=OF，即AC與EF互相平分．

方法二：連接AF，CE．
∵AB∥CD，AB=CD，
∴∠ABE=∠CDF．
又∠AEB=∠CFD=90°，
∴△ABE≌△CDF．
∴AE=CF．
又AE∥CF，
∴四邊形AECF是平行四邊形．
∴AC與EF互相平分．
分析：方法一：根據(jù)平行四邊形的對角線互相平分，得到OA=OC，只需證明OE=OF．根據(jù)AAS證明△AOE≌△COF即可得到；
方法二：要證明AC與EF互相平分，連接AF，CE．只需證明四邊形AECF是平行四邊形即可．根據(jù)AE⊥BD，CF⊥BD，得到AE∥CF．根據(jù)△ABE≌△CDF，得到AE=CF．再根據(jù)一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形進行證明．
點評：本題綜合運用平行四邊形的性質(zhì)和全等三角形的性質(zhì)和判定，運用平行四邊形的性質(zhì)解決以下問題，如求角的度數(shù)、線段的長度，證明角相等或互補，證明線段相等或倍分等．
練習冊系列答案
相關習題

科目：初中數(shù)學 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，在平行四邊形ABC0中，已知點A、C兩點的坐標為A（
5
，
5
），C（2
5
，0）．
（1）求點B的坐標．
（2）將平行四邊形ABCO向左平移
5
個單位長度，求所得四邊形A′B′C′O′四個頂點的坐標．
（3）求平行四邊形ABCO的面積．

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科目：初中數(shù)學 來源： 題型：

（1）已知：如圖1，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于點D，點E在AC上，CE=BC，過E點作AC的垂線，交CD的延長線于點F．求證：AB=FC．
（2）如圖2，已知△ABC的三個頂點的坐標分別為A（-2，3）、B（-6，0）、C（-1，0）．
（1）請直接寫出點A關于y軸對稱的點的坐標；
（2）將△ABC繞坐標原點O逆時針旋轉90°．畫出圖形，直接寫出點B的對應點的坐標；
（3）請直接寫出：以A、B、C為頂點的平行四邊形的第四個頂點D的坐標．

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科目：初中數(shù)學 來源： 題型：

（2013•南平模擬）如圖，已知四邊形ABCD．請在下列四個關系中，選出兩個恰當?shù)年P系作為條件，推出四邊形ABCD是平行四邊形，并予證明．
關系：①AD∥BC；②AB=CD；③∠B+∠C=180°；④∠A=∠C．
已知：在四邊形ABCD中，
①
①
，
③
③
．（填序號，寫出一種情況即可）  
求證：四邊形ABCD是平行四邊形．

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科目：初中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，在平行四邊形OABC中，已知點A、C兩點的坐標為A （
3
，
3
），C（2
3
，0）．
（1）填空：點B的坐標是
（3
3
，
3
）
（3
3
，
3
）
．
（2）將平行四邊形OABC向左平移
3
個單位長度，求所得四邊形A′B′C′O′四個頂點的坐標．

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科目：初中數(shù)學 來源： 題型：

已知：如圖，在平面直角坐標系xOy中，直線AB與x軸、y軸的交點分別為A、B，OB=3，，將∠OBA對折，使點O的對應點H恰好落在直線AB上，折痕交x軸于點C，

（1）求過A、B、C三點的拋物線解析式；

（2）若拋物線的頂點為D，在直線BC上是否存在點P，使得四邊形ODAP為平行四

邊形？若存在，求出點P的坐標；若不存在，說明理由；

（3）若點Q是拋物線上一個動點，使得以A、B、Q為頂點并且以AB為直角邊的直角三角形，直角寫出Q點坐標。

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