Question

已知Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6，AC=8．點(diǎn)P是邊AB的中點(diǎn)，以P為頂點(diǎn)，作∠MPN=∠A，∠MPN的兩邊分別與邊AC交于點(diǎn)M、N．
（1）當(dāng)△MPN是直角三角形時，求CM的長度；
（2）當(dāng)∠MPN繞點(diǎn)P轉(zhuǎn)動時，下列式子：（甲）CM•AN，（乙）CN•AM的值是否保持不變？若保持不變，試求出這個不變的值，并證明你的結(jié)論；
（3）連接BM，是否存在這樣的點(diǎn)M，使得△BMP與△ANP相似？若存在，請求出這時CM的長；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)已知條件可以確定顯然∠MPN≠90°，若∠PMN=90°，根據(jù)已知條件可以求出CM=4；若∠PNM=90°，則根據(jù)已知條件得到PN=3，CN=4，MN=

9

4

，然后就可以求出CM；
（2）甲的CM•AN的值不確定，由于CM可以為0，從而CM•AN的值為0；乙的CN•AM的值保持不變，且CN•AM=25，連CP，根據(jù)已知條件可以得到△CPN∽△AMP，然后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求出CN•AM=25；
（3）由∠MPN=∠A得到∠APN+∠ANP=∠APN+∠BPM，接著得到∠ANP=∠BPM，要使△BMP與△ANP相似，
①若∠MBP=∠A，則BM=AM，又P是AB中點(diǎn)，可以得到MP⊥AB，從而推出△AMP∽△ABC．然后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求解；
②若∠BMP=∠A，則∠BMP=∠MPN，可以得到△BMP∽△BAM，同①可以求出BM，從而求出CM．

解答：解：（1）顯然∠MPN≠90°，
若∠PMN=90°，則CM=4，（1分）
若∠PNM=90°，則PN=3，CN=4，MN=

9

4

，
∴CM=

7

4

；

（2）（甲）CM•AN的值不確定（顯然，CM可以為0，從而CM•AN的值為0）；
（乙）CN•AM的值保持不變，且CN•AM=25．（2分）
證明如下：
連CP，由已知：∠ACB=90°，AB=10，
∵點(diǎn)P是AB中點(diǎn)，
∴CP=AP=5．（1分）
∴∠PCA=∠PAC=∠MPN．
∴∠PMA=∠CPN．
∴△CPN∽△AMP．（2分）
∴

CN

AP

=

CP

AM

．
∴CN•AM=25．（1分）

（3）∵∠MPN=∠A，
∴∠APN+∠ANP=∠APN+∠BPM，
∴∠ANP=∠BPM．（1分）
要使△BMP與△ANP相似，
①若∠MBP=∠A，則BM=AM，
又P是AB中點(diǎn)，
∴MP⊥AB，
∴△AMP∽△ABC．
∴AM=

25

4

，
從而CM=

7

4

；
②若∠BMP=∠A，
則∠BMP=∠MPN，
∴△BMP∽△BAM．

BM

BA

=

BP

BM

，
∴

BM

10

=

5

BM

，
∴BM=5

2

．
從而CM=

14

．

點(diǎn)評：此題主要考查了相似三角形的性質(zhì)與判定及勾股定理的應(yīng)用，解題時要求學(xué)生熟練掌握相似三角形的判定方法才能很好解決問題．