Question

如圖，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠DAB=90°，AC⊥BC．
（1）求證：△ADC∽△BCA；
（2）若AB=9cm，AC=6cm，求梯形ABCD中位線的長(zhǎng)度．

Answer 1

考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì),梯形中位線定理

專題：

分析：（1）由條件中的平行可得：∠ACD=∠CAB，根據(jù)垂直的定義可得∠ACB=∠D=9°，進(jìn)而證明：△ADC∽△BCA；
（2）若要求梯形ABCD中位線的長(zhǎng)度，只要求出DC的長(zhǎng)即可，利用（1）中的結(jié)論即可求出CD的長(zhǎng)．

解答：（1）證明：∵AB∥CD，
∴∠ACD=∠BAC，
∵∠DAB=90°，AB∥CD，
∴∠ADC=90°
∵AC⊥BC，
∴∠ACB=90°=∠D，
∴△ADC∽△BCA，
（2）解：∵△ADC∽△BCA，
∴

CD

AC

=

AC

BA

，
∴CD=

AC×AC

BA

=

6×6

9

=4（cm）．
∴梯形ABCD中位線的長(zhǎng)度=

1

2

（AB+CD）=6.5cm．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)以及梯形的中位線定理：梯形的中位線平行于兩底，并且等于兩底和的一半．