Question

如圖1，已知正方形OABC的邊長為2，頂點A、C分別在x、y軸的正半軸上，M是BC的中點．E（0，m）是線段OC上一動點（O，C點除外），直線EM交AB的延長線于點F．
（1）求點F的坐標(biāo)（用含m的代數(shù)式表示）；
（2）當(dāng)△AEF是等腰三角形時，求m的值；
（3）如圖2，以AE為直徑作⊙P，求BC與⊙P恰好相切于點M時，求點F的坐標(biāo)．

Answer 1

考點：圓的綜合題

專題：綜合題

分析：（1）先證明△CEM≌△BFM，得到BF=CE，由于CE=OC-OE=2-m，所以BF=2-m，則AF=AB+BF=4-m，于是F點坐標(biāo)表示為（2，4-m）；
（2）先利用兩點間的距離公式得到AF²=（4-m）²，AE²=2²+m²，EF²=2²+（4-2m）²，然后分類討論：當(dāng)AF=AE，則（4-m）²=2²+m²；當(dāng)AF=EF，（4-m）²=2²+（4-2m）²，整理得3m²-8m+4=0；當(dāng)AE=EF，2²+m²=2²+（4-2m）²，整理得3m²-16m+16=0，再分別解方程求出滿足條件的m值（0＜m＜2）；
（3）連結(jié)PM，根據(jù)切線的性質(zhì)得PM⊥BC，易得PM為△EFA的中位線，則PM=

1

2

AF，而PM=

1

2

AE，所以AE=AF，然后利用（2）中的結(jié)論得當(dāng)AF=AE，得m=

3

2

，所以F點的坐標(biāo)為（2，

5

2

）．

解答：解：（1）∵正方形OABC的邊長為2，M是BC的中點，
∴CM=CM=1，CO∥AB，
∴∠CEM=∠F，
在△CEM和△BFM中

∠CME=∠BMF ∠CEM=∠F CM=BM

，
∴△CEM≌△BFM，
∴BF=CE，
∵E點坐標(biāo)為（0，m），
∴CE=OC-OE=2-m，
∴BF=2-m，
∴AF=AB+BF=4-m，
∴F點坐標(biāo)為（2，4-m）（0＜m＜2）；
（2）AF²=（4-m）²，AE²=2²+m²，EF²=2²+（4-2m）²，
當(dāng)AF=AE，則（4-m）²=2²+m²，解得m=

3

2

；
當(dāng)AF=EF，（4-m）²=2²+（4-2m）²，整理得3m²-8m+4=0，解得m₁=

2

3

，m₂=2（舍去）；
當(dāng)AE=EF，2²+m²=2²+（4-2m）²，整理得3m²-16m+16=0，解得m₁=

4

3

，m₂=4（舍去），
綜上所述，當(dāng)△AEF是等腰三角形時，m的值為

3

2

或

2

3

或

4

3

；
（3）連結(jié)PM，如圖2，
∵BC與⊙P恰好相切于點M，
∴PM⊥BC，
∴PM∥AF，
而PA=PE，
∴PM為△EFA的中位線，
∴PM=

1

2

AF，
而PM=

1

2

AE，
∴AE=AF，
由（2）得當(dāng)AF=AE，得m=

3

2

，
∴F點的坐標(biāo)為（2，

5

2

）．

點評：本題考查了圓的綜合題：掌握切線的性質(zhì)定理、等腰三角形的性質(zhì)和全等三角形的判定與性質(zhì)；會利用兩點間的距離公式計算線段的長；會利用因式分解法解一元二次方程；理解分類討論的思想方法．