Question

在平面直角坐標系中，A（2，0）、B（0，3），過點B作直線∥x軸，點P（a，3）是直線上的動點，以AP為邊在AP右側作等腰RtAPQ，∠APQ=Rt∠，直線AQ交y軸于點C．
（1）當a=1時，則點Q的坐標為

 

； 
（2）當點P在直線上運動時，點Q也隨之運動．當a=

 

時，AQ+BQ的值最小為

 

．

Answer 1

考點：一次函數(shù)綜合題,全等三角形的判定與性質(zhì),勾股定理,相似三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）要求點Q的坐標，可作QF⊥BP，由于BP、OB已知，只需求出PF和QF．從條件“△APQ為等腰直角三角形”出發(fā)，構造全等，即可解決問題．
（2）本題要求動點Q到兩定點A、B的距離之和AQ+BQ的最小值，屬于“將軍飲馬型”，只需求出動點Q所在直線的解析式，然后運用解決“將軍飲馬型”的方法即可解決問題；要求AQ+BQ取最小值時對應的a的值，只需運用相似三角形對應高的比等于相似比建立關于a的方程，就可求出a的值．

解答：解：（1）過點P作PE⊥OA，垂足為E，過點Q作QF⊥BP，垂足為F，如圖1．
∵BP∥OA，PE⊥OA，∴∠EPF=∠PEO=90°．
∵∠APQ=90°，∴∠EPA=∠FPQ=90°-∠APF．
在△PEA和△PFQ中，

∠EPA=∠FPQ ∠PEA=∠PFQ=90° PA=PQ

∴△PEA≌△PFQ．
∴PE=PF，EA=QF．
∵a=1，∴P（1，3）．∴OE=BP=1，PE=3．
∵A（2，0），∴OA=2，∴EA=1．∴PF=3，QF=1．
∴點Q的坐標為（4，4）．

（2）若點P的坐標為（a，3），則PF=PE=3，QF=AE=|2-a|．
∴點Q的坐標為（a+3，5-a）．
∵無論a為何值，點Q的坐標（a+3，5-a）都滿足一次函數(shù)解析式y(tǒng)=-x+8，
∴點Q始終在直線y=-x+8上運動．
設直線y=-x+8與x軸、y軸分別交于點M、N，如圖2所示．
當x=0時y=8，當y=0時x=8．∴OM=ON=8．
∵∠AOB=90°，∴∠OMN=45°．
過點A關于直線MN作對稱點A′，連A′Q、A′M，
則A′Q=AQ，A′M=AM=6，∠A′MN=∠AMN=45°．
∴∠A′MA=90°，AQ+BQ=A′Q+BQ．根據(jù)兩點之間線段最短可知：
當A′、Q、B三點共線時，AQ+BQ=A′Q+BQ最短，最小值為A′B長．
設直線BP與A′M相交于點H，則BH⊥A′M．
在Rt△A′HB=90°，BH=OM=8，A′H=A′M-MH=6-3=3，
∴A′B=

BH2+A′H2

=

82+32

=

73

．
當A′、Q、B三點共線時，
∵BN∥A′M，∴△BQN～△A′QM．
根據(jù)相似三角形對應高的比等于相似比可得：

xQ

8-xQ

=

BN

A′M

=

8-3

6

，解得x_Q=

40

11

．
∴a+3=

40

11

．∴a=

7

11

．
∴當a=

7

11

時，AQ+BQ的值最小為

73

．
故答案為：（4，4）、

7

11

、

73

．

點評：這道題考查了全等的性質(zhì)與判定、相似的性質(zhì)與判定，兩點之間線段最短，勾股定理等知識，綜合性很強，求出動點Q所在直線的解析式是解決這道難題的關鍵；當直角坐標系中出現(xiàn)等腰直角三角形時，可考慮構造全等三角形，找出線段之間的等量關系，從而將條件與所求線段有機地聯(lián)系起來；若要求一個動點到兩個定點的距離之和的最小值，應聯(lián)想到“將軍飲馬”這個基本模型．