Question

在銳角△ABC中，∠ABC=45°，CD⊥AB，D是垂足，BD=4，M、N分別是BD、BC上動(dòng)點(diǎn)，則CM+MN的最小值是

 

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Answer 1

考點(diǎn)：軸對(duì)稱-最短路線問(wèn)題

專題：

分析：作△ABC關(guān)于直線AB的對(duì)稱△ABC′，C′是C的對(duì)稱點(diǎn)，連接C′N交AB于M′，由于∠ABC=45°，所以∠CBC′=90°，所以點(diǎn)N在點(diǎn)B時(shí)，CM+MN有最小值，
再根據(jù)BC=4

2

，即可求出BC′的長(zhǎng)．

解答：解：作△ABC關(guān)于直線AB的對(duì)稱△ABC′，C′是C的對(duì)稱點(diǎn)，連接C′N交AB于M′，
∵∠ABC=45°，
∴∠ABC′=45°，
∴∠CBC′=90°，
∴點(diǎn)N在點(diǎn)B時(shí)，CM+MN有最小值，
則BC′即為CM+MN的最小值，
∵C′是C的對(duì)稱點(diǎn)，CD⊥AB，
∴C、D、C′三點(diǎn)共線，
∴△CBC′是等腰直角三角形，
∴BC′=BC，
∵∠ABC=45°，CD⊥AB，BD=4，
∴△BDC是等腰直角三角形，
∴BC=

2

BD=4

2

，
∴BC′=4

2

，
故答案為4

2

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點(diǎn)評(píng)：本題考查的是軸對(duì)稱-最短路線問(wèn)題，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出等腰直角三角形，利用等腰直角三角形求解是解答此題的關(guān)鍵．