如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,已知:△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別是A(4,6)、B(0,0)、C(6,0).
(1)求AO、AB所在直線的函數(shù)解析式;
(2)在△AOB內(nèi)可以作一個(gè)正方形CDEF,使它的三個(gè)頂點(diǎn)分別落在邊AO、AB上,E、F兩個(gè)頂點(diǎn)落在OB上,請(qǐng)求出這個(gè)正方形四個(gè)頂瞇的坐標(biāo),并在圖中畫(huà)出這個(gè)正方形;
(3)連接OC,在線段OC上任取一點(diǎn)P,過(guò)P作與x軸、y軸的不行線與OA、OB分別交于M、N兩點(diǎn),過(guò)M作OB邊的垂線與OB交于H;你有什么發(fā)現(xiàn)?請(qǐng)寫(xiě)出來(lái),并說(shuō)明理由.

解:(1)設(shè)OA所在直線的解析式為:y=k1x,
把A(4,6)代入得4k1=6,∴
∴AO所在直線的解析式為:
設(shè)AB所在直線的解析式為:y=k2x+b,
把A(4,6)、B(6,0)代入得,
解得,
∴AB所在直線的解析式為:y=-3x+18.

(2)過(guò)A作AS⊥OB于S,交CD于T.
∵DC∥EF,
∴△ADC∽△AOB,

∵A(4,6),B(6,0),
∴OB=6,AS=6,,
∴AT=DC=TS=3,故可設(shè)D(x,3),
∵D(x,3)在的圖象上,
∴x=2,故D(2,3),
可設(shè)C點(diǎn)的坐標(biāo)為(x,3)
∵CD=3,
∴x-2=3,即x=5,
∴C(5,3),
又∵是DE、CF都垂直于OB且DE=CF,
∴E、F兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為:E(2,0)、F(5,0).

(3)四邊形MHNP是矩形.
∵DC∥PM,PN∥FC


又∵四邊形EFCG是正方形,DC=CF.
∴MP=NP,而MH⊥OB,PN⊥OB,
∴四邊形MHNP是正方形.
分析:(1)因?yàn)椤鰽BC的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別是A(4,6)、B(0,0)、C(6,0),所以可設(shè)OA所在直線的解析式為:y=k1x,把A(4,6)代入得到關(guān)于k1的方程,解之即可;可設(shè)AB所在直線的解析式為:y=k2x+b,把A(4,6)、B(6,0)代入得到關(guān)于k2、b的方程組,解之即可;
(2)因?yàn)樵凇鰽OB內(nèi)可以作一個(gè)正方形CDEF,使它的三個(gè)頂點(diǎn)分別落在邊AO、AB上,E、F兩個(gè)頂點(diǎn)落在OB上,所以可過(guò)A作AS⊥OB于S,交CD于T,利用DC∥EF,可得△ADC∽△AOB,利用相似三角形的對(duì)應(yīng)邊的比等于相似比,可得,由點(diǎn)的坐標(biāo)可知OB=6,AS=6,所以AT=DC=TS=3,故可設(shè)D(x,3),利用D(x,3)在的圖象上,求出x的值就求出了D的坐標(biāo);同樣可設(shè)C點(diǎn)的坐標(biāo)為(x,3),因?yàn)镃D=3,結(jié)合D的橫坐標(biāo)可得到x-2=3,即x=5,就可求出C(5,3),根據(jù)CDEF是正方形,即可寫(xiě)出E、F的坐標(biāo).
(3)因?yàn)镈C∥PM∥HN,PN∥FC∥HM,可得,MHNP是平行四邊形,利用四邊形EFCG是正方形,DC=CF,可得MP=NP,而MH⊥OB,PN⊥OB,所以四邊形MHNP是正方形.
點(diǎn)評(píng):本題的解決需利用待定系數(shù)法、相似三角形的性質(zhì)、正方形的判定這些知識(shí),另外解決這類問(wèn)題常用到數(shù)形結(jié)合、方程和轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想方法.
練習(xí)冊(cè)系列答案
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精英家教網(wǎng)如圖,在平面直角坐標(biāo)中,四邊形OABC是等腰梯形,CB∥OA,OA=7,AB=4,∠COA=60°,點(diǎn)P為x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),但是點(diǎn)P不與點(diǎn)0、點(diǎn)A重合.連接CP,D點(diǎn)是線段AB上一點(diǎn),連接PD.
(1)求點(diǎn)B的坐標(biāo);
(2)當(dāng)∠CPD=∠OAB,且
BD
AB
=
5
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,求這時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo).

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(2012•渝北區(qū)一模)如圖,在平面直角坐標(biāo)xoy中,以坐標(biāo)原點(diǎn)O為圓心,3為半徑畫(huà)圓,從此圓內(nèi)(包括邊界)的所有整數(shù)點(diǎn)(橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù))中任意選取一個(gè)點(diǎn),其橫、縱坐標(biāo)之和為0的概率是
5
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如圖,在平面直角坐標(biāo)中,等腰梯形ABCD的下底在x軸上,且B點(diǎn)坐標(biāo)為(4,0),D點(diǎn)坐標(biāo)為(0,3),則AC長(zhǎng)為
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如圖,在平面直角坐標(biāo)xOy中,已知點(diǎn)A(-5,0),P是反比例函數(shù)y=
k
x
圖象上一點(diǎn),PA=OA,S△PAO=10,則反比例函數(shù)y=
k
x
的解析式為( 。

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如圖,在平面直角坐標(biāo)中,四邊形OABC是等腰梯形,CB∥OA,OC=AB=4,BC=6,∠COA=45°,動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā),在梯形OABC的邊上運(yùn)動(dòng),路徑為O→A→B→C,到達(dá)點(diǎn)C時(shí)停止.作直線CP.
(1)求梯形OABC的面積;
(2)當(dāng)直線CP把梯形OABC的面積分成相等的兩部分時(shí),求直線CP的解析式;
(3)當(dāng)△OCP是等腰三角形時(shí),請(qǐng)寫(xiě)出點(diǎn)P的坐標(biāo)(不要求過(guò)程,只需寫(xiě)出結(jié)果).

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