Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中放置一直角三角板，其頂點(diǎn)為A（0，1），B（2，0），O（0，0），將此三角板繞原點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到△A′B′O．

（1）一拋物線經(jīng)過點(diǎn)A′、B′、B，求該拋物線的解析式；

（2）設(shè)點(diǎn)P是在第一象限內(nèi)拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，是否存在點(diǎn)P，使四邊形PB′A′B的面積是△A′B′O面積4倍？若存在，請(qǐng)求出P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

（3）在（2）的條件下，試指出四邊形PB′A′B是哪種形狀的四邊形？并寫出四邊形PB′A′B的兩條性質(zhì)．

 

Answer 1

【答案】

解：(1) ∵△A′B′O是由△ABO繞原點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90⁰得到的，

且A（0，1），B（2，0），O（0，0）

∴。

設(shè)拋物線的解析式為，

∵拋物線經(jīng)過點(diǎn)A′、B′、B，

∴，解之得。

∴滿足條件的拋物線的解析式為。

（2）∵P為第一象限內(nèi)拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，

設(shè)，則，P點(diǎn)坐標(biāo)滿足。

連接PB，PO，PB′。

 

 

∴

。

假設(shè)四邊形PB′A′B的面積是△A′B′O面積的4倍，

則，即，解之得，此時(shí)。

∴P（1，2）。

∴存在點(diǎn)P（1，2），使四邊形PB′A′B的面積是△A′B′O面積的4倍。

（3）四邊形PB′A′B為等腰梯形。它的性質(zhì)有：

①等腰梯形同一底上的兩個(gè)內(nèi)角相等；

②等腰梯形對(duì)角線相等；

③等腰梯形上底與下底平行；

④等腰梯形兩腰相等。

答案不唯一，上面性質(zhì)中的任意2個(gè)均可。

【解析】二次函數(shù)綜合題，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，待定系數(shù)法，曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)與方程的關(guān)系，等腰梯形的判定和性質(zhì)。

【分析】（1）利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出A′（－1，0），B′（0，2），再利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式即可。

（2）利用S_{四邊形PB′A′B}=S_△B′OA′+_S△PB′O+S_△POB，再假設(shè)四邊形PB′A′B的面積是△A′B′O面積的4倍，得出一元二次方程，得出P點(diǎn)坐標(biāo)即可。

（3）利用P點(diǎn)坐標(biāo)以及B點(diǎn)坐標(biāo)即可得出四邊形PB′A′B為等腰梯形，利用等腰梯形性質(zhì)得出答案即可。