Question

如圖，△ABC中，∠ACB=90°，D為AB上任一點(diǎn)，過(guò)D作AB的垂線，分別交邊AC、BC的延長(zhǎng)線于E、F兩點(diǎn)，∠BAC、∠BFD的平分線交于點(diǎn)I，AI交DF于點(diǎn)M，F(xiàn)I交AC于點(diǎn)N，連接BI．下列結(jié)論：①∠BAC=∠BFD；②∠ENI=∠EMI；③AI⊥FI；④∠ABI=∠FBI；其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（　　）

A．1個(gè)

B．2個(gè)

C．3個(gè)

D．4個(gè)

Answer 1

分析：先根據(jù)∠ACB=90°可知∠DBF+∠BAC=90°，再由FD⊥AB可知∠BDF=90°，所以∠DBF+∠BFD=90°，通過(guò)等量代換即可得出∠BAC=∠BFD，故①正確；根據(jù)∠BAC=∠BFD，∠BAC、∠BFD的平分線交于點(diǎn)I可知∠EFN=∠EAM，再由對(duì)頂角相等可知∠FEN=∠AEM，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)即可判斷出∠ENI=∠EMI，故②正確；由①知∠BAC=∠BFD，因?yàn)椤螧AC、∠BFD的平分線交于點(diǎn)I，故∠MAD=∠MFI，再根據(jù)∠AMD=∠FMI可知，∠AIF=∠ADM=90°，即AI⊥FI，故③正確；因?yàn)锽I不是∠B的平分線，所以∠ABI≠∠FBI，故④錯(cuò)誤．

解答：解：∵∠ACB=90°，
∴∠DBF+∠BAC=90°，
∵FD⊥AB，
∴∠BDF=90°，
∴∠DBF+∠BFD=90°，
∴∠BAC=∠BFD，故①正確；
∵∠BAC=∠BFD，∠BAC、∠BFD的平分線交于點(diǎn)I，
∴∠EFN=∠EAM，
∵∠FEN=∠AEM，
∴∠ENI=∠EMI，故②正確；
∵由①知∠BAC=∠BFD，∠BAC、∠BFD的平分線交于點(diǎn)I，
∴∠MAD=∠MFI，
∵∠AMD=∠FMI，
∴∠AIF=∠ADM=90°，即AI⊥FI，故③正確；
∵BI不是∠B的平分線，
∴∠ABI≠∠FBI，故④錯(cuò)誤．
故選C．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是三角形內(nèi)角和定理及三角形外角的性質(zhì)，熟知三角形的內(nèi)角和等于180°是解答此題的關(guān)鍵．