Question

（本題滿分10分）如圖，扇形OAB的半徑OA＝r，圓心角∠AOB＝90º，點(diǎn)C是上異于A、B的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C作CD⊥OA于點(diǎn)D，作CE⊥OB于點(diǎn)E，點(diǎn)M在DE上，DM＝2EM，過(guò)點(diǎn)C的直線CP交OA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P，且∠CPO＝∠CDE．

（1）試說(shuō)明：DM＝r；

（2）試說(shuō)明：直線CP是扇形OAB所在圓的切線；

Answer 1

（1）見解析（5分） （2）見解析（5分）

【解析】

試題分析：（1）連接OC，可證明四邊形ODCE是矩形，所以DE=OC=r，又DM＝2EM，所以DM=DE;（2）根據(jù)條件證明PC⊥OC即可.

試題解析：（1）證明：連接OC，∵點(diǎn)C是上異于A、B的點(diǎn)，又CD⊥OA于點(diǎn)D，CE⊥OB于點(diǎn)E，∴∠ODC=∠OEC=∠AOB=90°，∴四邊形ODCE是矩形，∴DE=OC．∵OC=OA=r，∴DE=r．又∵DM=2EM，∴DM=r；（2）證明：設(shè)OC與DE交于點(diǎn)F，則在矩形ODCE中，F(xiàn)C=FD，∴∠CDE=∠DCO，又∵∠CPD+∠PCD=90°，∠CPD=∠CDE，∴∠DCO+∠PCD=90°，即PC⊥OC于點(diǎn)C，又∵OC為扇形OAB的半徑，∴PC是扇形OAB所在圓的切線.

考點(diǎn)：1.矩形的判定與性質(zhì)；2.切線的判定.