Question

已知，拋物線y=ax²+bx+c過點A（-3，0），B（1，0），C(0，

3

)，此拋物線的頂點為D．
（1）求此拋物線的解析式；
（2）把△ABC繞AB的中點M旋轉(zhuǎn)180°，得到四邊形AEBC．
①求E點的坐標；
②試判斷四邊形AEBC的形狀，并說明理由．
（3）試探求：在直線BC上是否存在一點P，使得△PAD的周長最�。咳舸嬖�，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）由于拋物線y=ax²+bx+c過點A（-3，0），B（1，0），C(0，

3

)，利用待定系數(shù)法即可確定拋物線的解析式；
（2）①由于△ABC繞AB的中點M旋轉(zhuǎn)180°，可知點E和點C關(guān)于點M對稱，由此利用已知條件即可求出E的坐標；
②四邊形AEBC是矩形．根據(jù)旋轉(zhuǎn)可以得到△ABC≌△AEB，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AC=EB，AE=BC，接著證明AEBC是平行四邊形，而在Rt△ACO中，OC=

3

，OA=3，由此得到∠CAB=30°，再利用評選四邊形的性質(zhì)得到∠ABE=30°，最后在Rt△COB中利用三角函數(shù)求出∠CBO=60°，接著就可以證明∠CBE=90°，這樣就可以證明四邊形ABEC是矩形；（3）首先假設(shè)在直線BC上存在一點P，使△PAD的周長最�。�由于AD為定值，所以使△PAD的周長最小，就是PA+PD最小，而根據(jù)四邊形AEBC是矩形可以得到A（-3，0）關(guān)于點C（0，

3

）的對稱點A₁（3，2

3

），點A與點A₁也關(guān)于直線BC對稱．連接A₁D，與直線BC相交于點P，連接PA，則△PAD的周長最小．接著利用待定系數(shù)法求出BC、A₁D的解析式，接著聯(lián)立解析式解方程組即可P的坐標．

解答：解：（1）∵y=ax²+bx+c過C（0，

3

），
∴y=ax2+bx+

3

，
又y=ax²+bx+c過點A（-3，0）、B（1，0），
∴

0=9a-3b+ 3 0=a+b+ 3

，
∴

a=- 3 3 b=- 2 3 3

，
∴此拋物線的解析式為y=-

3

3

x2-

2

3

3

x+

3

；

（2）①△ABC繞AB的中點M旋轉(zhuǎn)180°．可知點E和點C關(guān)于點M對稱，
∴M（-2，0），C（0，

3

），
∴E（-2，-

3

）；
②四邊形AEBC是矩形．
∵△ABC繞AB的中點M旋轉(zhuǎn)180°得到四邊形AEBC，
∴△ABC≌△AEB
∴AC=EB，AE=BC
∴AEBC是平行四邊形
在Rt△ACO中，OC=

3

，OA=3，
∴∠CAB=30°，
∵AEBC是平行四邊形，
∴AC∥BE，
∴∠ABE=30°，
在Rt△COB中，
∵OC=

3

，OB=1，
∴∠CBO=60°
∴∠CBE=∠CBO+∠ABE=60°+30°=90°
ABEC是矩形；

（3）假設(shè)在直線BC上存在一點P，使△PAD的周長最�。�
因為AD為定值，所以使△PAD的周長最小，就是PA+PD最��；
∵AEBC是矩形，
∴∠ACB=90°．
∴A（-3，0）關(guān)于點C（0，

3

）的對稱點A₁（3，2

3

）．
點A與點A₁也關(guān)于直線BC對稱．
連接A₁D，與直線BC相交于點P，連接PA，則△PAD的周長最�。�
∵B（1，0）、C（0，

3

）
∴BC的解析式為y=-

3

x+

3

∵A₁（3，2

3

）、D（-1，

4 3

3

）
∴A₁D的解析式為y=

3

6

x+

3 3

2

．
∴

y=- 3 x+ 3 y= 3 6 x+ 3 3 2

∴

x=- 3 7 y= 10 3 7

∴P的坐標為（-

3

7

，

10 3

7

）．

點評：本題是二次函數(shù)的綜合題型，其中涉及到的知識點有待定系數(shù)法確定函數(shù)的解析式、軸對稱圖形的性質(zhì)的應(yīng)用、中心對稱圖形的性質(zhì)及直線的交點與它們解析式組成方程組的解的關(guān)系，綜合性很強，對于學(xué)生的能力的要求比較高，平時加強訓(xùn)練．